力扣—不同路径(路径问题的动态规划)

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题目解析

算法原理

状态表示
对于这种「路径类」的问题，我们的状态表示⼀般有两种形式：
i. 从 $i, j$ 位置出发。
ii. 从起始位置出发，到 $i, j$ 位置。
这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：
dp $i$ $j$ 表示：⾛到 $i, j$ 位置处，⼀共有多少种⽅式。
状态转移⽅程：
简单分析⼀下。如果dp $i$ $j$ 表示到达 $i, j$ 位置的⽅法数，那么到达 $i, j$ 位置之
前的⼀小步，有两种情况：
i. 从 $i, j$ 位置的上方（ $i - 1, j$ 的位置）向下走⼀步，转移到 $i, j$ 位置；
ii. 从 $i, j$ 位置的左方（ $i, j - 1$ 的位置）向右走⼀步，转移到 $i, j$ 位置。
由于我们要求的是有多少种⽅法，因此状态转移⽅程就呼之欲出了：
dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j$ + dp $i$ $j - 1$ 。
初始化：
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
ii. 「下标的映射关系」。
在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，只需将dp $0$ $1$ 的位置初始化为1 即可。
填表顺序：
根据「状态转移⽅程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候「从左往右」。
返回值：
根据「状态表示」，我们要返回dp $m$ $n$ 的值。

代码实现

java 复制代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) 
    {
        int[][] dp=new int[m+1][n+1];
        //dp数组加一行和加一列是防止dp[i-1]越界访问
        dp[0][1]=1;//因为数组的一行和第一列的元素必须要等于1，为什么是1，因为机器人只能
        //向右或者向下移动走第一行和第一列的时候只有一种方式，所以是1.
        for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
        }
        return dp[m][n];
    }
}

题目练习

不同路径||

java 复制代码

class Solution 
{
 public int uniquePathsWithObstacles(int[][] ob) 
 {
 
     int m = ob.length, n = ob[0].length;
     int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
     dp[1][0] = 1;//第一行第一列设置为1，因为第一行和第一列都只能左移或者向下移动，只有一种方式，所以设置为1
      for(int i = 1; i <= m; i++)
      for(int j = 1; j <= n; j++)
     if(ob[i - 1][j - 1] == 0)//因为数组初始化为int[m + 1][n + 1];原来的[0][0]下标变为了[1][1]下标，
     //下标的映射关系发生了改变
      dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
 return dp[m][n];
 }
}

珠宝的的最大价值
 下降路径最小和
 最小路径和

完。