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题目解析
算法原理
- 状态表示
对于这种「路径类」的问题，我们的状态表示⼀般有两种形式：
i. 从[i, j] 位置出发。
ii. 从起始位置出发，到[i, j] 位置。
这⾥选择第⼆种定义状态表⽰的⽅式：
dp[i][j] 表示：⾛到[i, j] 位置处，⼀共有多少种⽅式。 - 状态转移⽅程：
简单分析⼀下。如果dp[i][j] 表示到达[i, j] 位置的⽅法数，那么到达[i, j] 位置之
前的⼀小步，有两种情况：
i. 从[i, j] 位置的上方（ [i - 1, j] 的位置）向下走⼀步，转移到[i, j] 位置；
ii. 从[i, j] 位置的左方（ [i, j - 1] 的位置）向右走⼀步，转移到[i, j] 位置。
由于我们要求的是有多少种⽅法，因此状态转移⽅程就呼之欲出了：
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] 。 - 初始化：
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
i. 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
ii. 「下标的映射关系」。
在本题中，「添加⼀⾏」，并且「添加⼀列」后，只需将dp[0][1] 的位置初始化为1 即可。 - 填表顺序：
根据「状态转移⽅程」的推导来看，填表的顺序就是「从上往下」填每⼀⾏，在填写每⼀⾏的时候「从左往右」。 - 返回值：
根据「状态表示」，我们要返回dp[m][n] 的值。
代码实现
java
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n)
{
int[][] dp=new int[m+1][n+1];
//dp数组加一行和加一列是防止dp[i-1]越界访问
dp[0][1]=1;//因为数组的一行和第一列的元素必须要等于1，为什么是1，因为机器人只能
//向右或者向下移动走第一行和第一列的时候只有一种方式，所以是1.
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}
return dp[m][n];
}
}题目练习
java
class Solution
{
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] ob)
{
int m = ob.length, n = ob[0].length;
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
dp[1][0] = 1;//第一行第一列设置为1，因为第一行和第一列都只能左移或者向下移动，只有一种方式，所以设置为1
for(int i = 1; i <= m; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
if(ob[i - 1][j - 1] == 0)//因为数组初始化为int[m + 1][n + 1];原来的[0][0]下标变为了[1][1]下标，
//下标的映射关系发生了改变
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
return dp[m][n];
}
}完。