动态规划与贪心算法：核心区别与实例分析

动态规划和贪心算法是计算机科学中用于解决优化问题的两种著名方法。它们各自的思路和应用场景有显著的区别，理解这些区别对解决相关问题至关重要。本文将详细探讨这两种算法的最优子结构、解法策略、适用场景，并通过具体的代码示例加以说明。

一、最优子结构

动态规划（Dynamic Programming, DP）

动态规划适用于具有最优子结构性质的问题。也就是说，问题的最优解可由其子问题的最优解组合而成。在 DP 中，通常会存储和复用这些子问题的结果，以避免重复计算，从而提高效率。

例子：斐波那契数列

动态规划可以用来高效地计算斐波那契数列。

java 复制代码

public class Fibonacci {
    public int fib(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 状态转移
        }
        return dp[n];
    }
}

贪心算法（Greedy Algorithm）

贪心算法适用于通过局部最优选择来构造全局最优解的问题。在每一步，贪心算法都选择当前最优选项，而不考虑全局最优解，这种方法虽不保证最佳解，但在特定问题下可以得到全局最优解。

例子：找零问题

在给定硬币面额的情况下，贪心算法可以用来找零。

java 复制代码

public class CoinChange {
    public int minCoins(int[] coins, int amount) {
        Arrays.sort(coins); // 先排序，贪心选择最大面额的硬币
        int count = 0;
        for (int i = coins.length - 1; i >= 0; i--) {
            while (amount >= coins[i]) {
                amount -= coins[i];
                count++;
            }
        }
        return count; // 最少硬币数量
    }
}

二、解法策略

动态规划的策略

自底向上：通过先解决较小的子问题，逐步构建出最终解决方案。
状态转移：定义状态的转换规则，从而构造 DP 表。

贪心算法的策略

自顶向下：逐步构造解决方案，每一步都选择当前认为最佳的选项。
局部最优选择：在当前状态下选择最优选项，构建全局解决方案。

三、适用场景

1. 动态规划的适用场景

动态规划通常适用于需要考虑所有可能选项的场景，典型问题包括：

背包问题
最长公共子序列
最短路径问题（如 Dijkstra 算法）
编辑距离

例子：最长公共子序列

java 复制代码

public class LongestCommonSubsequence {
    public int lcs(String text1, String text2) {
        int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1];

        for (int i = 1; i <= text1.length(); i++) {
            for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {
                if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.length()][text2.length()];
    }
}

2. 贪心算法的适用场景

贪心算法则适用于那些局部选择能够构建全局解决方案的情况，例如：

活动选择问题
霍夫曼编码
最小生成树（Prim/Kruskal 算法）

例子：最小生成树（Kruskal 算法）

java 复制代码

public class KruskalAlgorithm {
    public List<Edge> kruskal(List<Edge> edges, int numVertices) {
        Collections.sort(edges); // 按权重排序
        UnionFind uf = new UnionFind(numVertices);
        List<Edge> result = new ArrayList<>();

        for (Edge edge : edges) {
            if (uf.find(edge.src) != uf.find(edge.dest)) {
                uf.union(edge.src, edge.dest);
                result.add(edge); // 选择此边
            }
        }
        return result; // 返回最小生成树的边
    }
}

四、总结

动态规划：通过记忆化存储中间状态以减少计算量，适合状态具有重叠子问题的情况。它是解决复杂问题的强大工具。
贪心算法：通过在每一步选择中做出局部最优解，适合解决能够通过局部选择构建全局解决方案的问题。

在实际的应用中，选择使用动态规划还是贪心算法，取决于问题的性质及其最优解的结构。理解这两者的区别与联系是解决许多优化问题的关键所在。