1.一维前缀和
题目描述:
解法一:暴力解法:模拟
时间复杂度是O(n*q),会超时。
解法二:前缀和解法:快速求出数组中某一个连续区间的和
快速是指O(1),前缀和思想可把时间复杂度可降到O(q)。
算法思路:
- 先预处理出来一个前缀和数组:O(n)
- dp[i] 表示: [1, i] 区间内所有元素的和,那么 dp[i - 1] 里面存的就是 [1, i - 1] 区间内所有元素的和。
- 递推公式: dp[i] = dp[i - 1] + arr[i] ;
- 使用前缀和数组,快速求出某一个区间内所有元素的和:O(q)
- 当询问的区间是 [l, r] 时:区间内所有元素的和为: dp[r] - dp[l - 1] 。
时间复杂度为O(q)+O(n).
为什么我们的下标要从1开始计数呢?
举例:当访问的区间是[0,2]时,区间内所有元素的和为dp[2]-dp[-1],这里的dp[-1]越界。而当访问的区间是[1,2]时,区间内所有元素的和为dp[2]-dp[0],使dp[0]=0即可,不会越界。
- 为了处理边界情况
- 初始化:添加虚拟结点(辅助结点)
代码实现:
cpp
#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main()
{
//1.读入数据
int n,q;
cin>>n>>q;
vector<int> arr(n+1);
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>arr[i];
//2.预处理出来一个前缀和数组
vector<long long> dp(n+1);//防止溢出
for(int i=1;i<=n;i++) dp[i]=dp[i-1]+arr[i];
//3.使用前缀和数组
int l=0,r=0;
while (q--)
{
cin>>l>>r;
cout<<dp[r]-dp[l-1]<<endl;
}
return 0;
}
2.二维前缀和
题目描述:
解法一:暴力解法:模拟
时间复杂度是O(n* m *q),会超时。
解法二:前缀和解法
算法思路:
1.预处理出来一个前缀和矩阵: O(m*n)
dp[i][j]
表示:从[1,1]
位置到[i,j]
位置,这段区间里面所有元素的和。
2.使用前缀和矩阵 : O(q)
时间复杂度为O(m*n)+O(q).
代码实现:
cpp
#include <iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main()
{
//1.读入数据
int n=0,m=0,q=0;
cin>>n>>m>>q;
vector<vector<int>> arr(n+1,vector<int>(m+1));
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
cin>>arr[i][j];
//2.预处理前缀和矩阵
vector<vector<long long>> dp(n+1,vector<long long>(m+1));//防止溢出
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]+arr[i][j]-dp[i-1][j-1];
//3.使用前缀和矩阵
int x1=0,y1=0,x2=0,y2=0;
while (q--)
{
cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
cout<<dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1]<<endl;
}
return 0;
}
最后,本篇文章到此结束,感觉不错的友友们可以一键三连支持一下笔者,有任何问题欢迎在评论区留言哦~