力扣力扣力：53.最大子数组和

题目：

首先需要说明的是这道题可以用很多方法解决，这里先采取动态规划的方法，等后面再遇到别的方法的时候继续说明其他解法。另外这道题可以是由很多实际问题抽象提炼出来的，例如nums是股票价格，问第几天买入卖出利润最大等等，由这个模型可以延伸出很多实际问题，大家做题的时候要意识到是同一个模型。

既然是动态规划，那么还是老样子分为五步走：

1.状态表示

首先根据经验我们先定义成以i位置为结尾位置状态，又由于题目要求最大的字数组，那么自然的就定义成以i位置为结尾的最大字数组的和

2.状态转移方程

我们先对以i位置为结尾的字数组进行一个分类，由于可能会出现只有一个i位置元素的情况，所以我们单独讨论这种情况。

情况1：只有i位置一个元素，所以和就自然为i位置的值

情况2：除了i位置元素以外前面还有别的元素，但是当我计算前面元素的最大和的时候就可以调用dp $i-1$ 了，所以这个表达式就已经出来了

dp $i$ =max(dp $i-1$ +nums $i$ ,nums $i$ )

3.初始化

在这道题中，我们介绍一种比较方便写代码的初始化方式。在解码方式那道题中我们初始化的时候情况太多了，我们需要写很多个if判断语句，但是在循环过程里面又复用了同样的语句，因此我们想着能不能合并起来只写一次。答案是可以的，就像链表里面的头节点一样，我们这里也定义一个虚拟节点，这样前面的初始化就会合并到循环里面一并初始化掉了。

但是这样定义有两个注意事项：

1.虚拟节点的值要保证后面的原来数组的初始化正确

2.下标由于往后面都挪动了一位，需要注意映射关系的改变

由于原来的dp $0$ 现在往后挪动一位之后变成了dp $1$ ，所以根据上面的状态转移方程可以得到：dp $1$ =max(dp $0$ +nums $0$ ,nums $0$ )，而dp $1$ 位置相当于只有一个元素，所以最大和自然就是num $0$ ,所以这里为了保证dp $1$ 等于num $0$ ，这里dp $0$ 填上0就可以了

4.填表顺序

由于需要i-1的值所以只能是从前往后填从左往右

5.返回值

这里需要注意的是返回的不一定是dp表最后一个元素，因为最大字数组和不一定出现在最后，就像题目给出的例子一样，是可能出现在中间的，所以返回的应该是dp表里面的最大值。

再分析完之后，下面给出实现：

复制代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        //1.创建dp表
        //2.初始化
        //3.填表
        //4.返回结果
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n+1);//这里由于有虚拟节点的存在所以多加1
        int ret = INT_MIN;//保存表中最大值
        for(int i = 1;i<=n;i++)
        {
            dp[i] = max(nums[i-1],dp[i-1]+nums[i-1]);
            ret = max(ret,dp[i]);
        }
        return ret;
    }
};

需要注意的是由于我们多定义了一个虚拟节点所以，这里我们要找的原始nums数组下标要-1，另外定义储存最大值的变量最好定义成INT_MIN,如果 ret 的初始值是 0 或其他较小的值，那么在所有 dp[i] 都小于这个初始值的情况下（例如数组全是负数的情况），ret 会保留错误的值。

最后给出一个具体的例子说明完整的循环过程：

假设我们有 nums = [1, -2, 3, 5]。

初始化：
- n = 4，因为 nums 有 4 个元素。
- dp 的大小为 n+1 = 5，即 dp 的索引范围是 [0, 4]，其中 dp[0] 是一个虚拟节点，不参与计算。
填表过程：
- i = 1：
  - dp[1] = max(nums[0], dp[0] + nums[0]) = max(1, 0 + 1) = 1
  - ret = max(INT_MIN, dp[1]) = 1
- i = 2：
  - dp[2] = max(nums[1], dp[1] + nums[1]) = max(-2, 1 - 2) = -1
  - ret = max(1, dp[2]) = 1
- i = 3：
  - dp[3] = max(nums[2], dp[2] + nums[2]) = max(3, -1 + 3) = 3
  - ret = max(1, dp[3]) = 3
- i = 4：
  - dp[4] = max(nums[3], dp[3] + nums[3]) = max(5, 3 + 5) = 8
  - ret = max(3, dp[4]) = 8

最终得到 ret = 8，即 nums 的最大子数组和。