线性DP 区间DP C++

线性DP

题一 数字三角形

解题思路

三角形内的某个点，可以从这个点的左上方或右上方来到这个点，因此有状态转移方程：

fi, j = max(fi - 1, j - 1 + aij, fi - 1j + aij)

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 510;

int f[N][N], a[N][N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
        }
    }
    
    memset(f, -0x3f, sizeof f);//因为有负数的存在，所以需要初始化为负无穷，方便比大小取值
    
    f[1][1] = a[1][1];
    
    for (int i = 2; i <= n; i ++ )
    {
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
        {
            f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1] + a[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j]);
        }
    }
    
    int res = -1e9;
    for (int j = 1; j <= n; j ++ )
    {
        res = max(res, f[n][j]);
    }
    
    cout << res;
    return 0;
}

题二 最长上升子序列

解题思路

假设题目给出了n个数，这n个数存在了aN中：

其中fi 表示以ai为结尾的最长上升子序列的长度（位置也是独特的，假设aN中有多个相同的数，他们的f值也不一定相同！！），则如果现在在计算第i个数的fi值，且遍历到了第j个数(j <= i) 并且 ai > a\[\]则有fi = max(fi, fj + 1);

PS：最好在纸上模拟一次下面代码中的实现， 能很好地理解这个思路

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N], a[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        f[i] = 1;//第i个数的f值至少为1， 因为这个上升序列至少包含第i个数本身
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
        {
            if (a[i] > a[j])
            {
                f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
            }
        }
    }
    
    int res = -0x3f3f3f3f;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        res = max(res, f[i]);
    }
    
    cout << res;
    return 0;
}

区间DP

题目

解题思路

i是左端点， j是右端点， k是分界线，si是石子堆的前缀和

当最后一步将从i到k的石子与从k + 1到j的石子合并时， 其代价为sj - si - 1（前缀和）

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 310;
int f[N][N];
int s[N];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        scanf("%d", &s[i]);
        s[i] += s[i - 1];
    }
    
    for (int len = 2; len <= n; len ++ )
    {
        for (int i = 1; i + len - 1; i ++ )
        {
            int l = i, r = i + len - 1;
            f[l][r] = 0x3f3f3f3f;
            for (int k = i; k < r; k ++ )
            {
                f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
            }
        }
    }
    
    cout << f[1][n];
    return 0;
}