【回溯法】——组合总数

weixin_478689762024-11-15 20:28

回溯核心思想

  • 回溯算法的关键在于：不合适就退回到上一步
  • 具体的：通过枚举法，对所有可能性进行遍历，枚举顺序是一条路走到黑，走到头满足条件后，退一步，再尝试之前没走过的路，直到所有路都走了。

回溯关键点

  • 一条路走到黑
  • 回退一步
  • 另寻他路

实现

  • for循环：

    • 另寻他路：用for循环实现一个路径选择器
    • 逐个选择当前节点下的所有可能往下走的分支路径
    • 例如：走到节点a，向下有i条路，用for循环将这i条路逐个尝试一遍。（进入每条路后递归，重复这个过程）

  • 递归：

    • 一条路走到黑：把递归放在for循环内部，那么for每次循环都在给出一个路径之后进入递归，也就是继续向下走了
    • 回退一步：直到递归出口（无路可走）为止，那么从递归出口出来就会实现回退一步。

  • for循环与递归配合就可以实现回溯：

    • 当递归从递归出口出来后
    • 上一层的for循环就会继续执行
    • 而for循环继续执行就是给出了当前节点的下一条可行路径
    • 而后递归调用，顺着这条从未走过的路径又向下走一步，这就是回溯
python 复制代码 
def backtracking():
    # 定义回溯点
    if （回溯点）:  # 这条路走到底了
        （保存该结果）
        return
    else:
        # 逐步选择当前节点下的所有可能路径
        for route in all_route_set: 
            if （剪枝条件）: # 发现当前路不行
                （剪枝前的操作）
                return # 不继续往下走了，退回上层，换条路走
            else:  # 当前路径可行
                （保存当前数据）  # 向下走之前要记住已经走过了这个节点。保存
                （调用递归）self.backtracking(xx)  # 递归发生，继续向下走
                （回溯清理）  # 该节点下的路径都走完了！
  • 剪枝：
    • 对于某些问题，走着走着发现这条路不通，再走也是浪费时间和内存
    • 所以直接退回去，切掉这条路

39. 组合总数

39. 组合总和

一、题目难度

中等

二、相关标签与相关企业

[相关标签]

[相关企业]

三、题目描述

给你一个无重复元素的整数数组 candidates 和一个目标整数 target，找出 candidates 中可以使数字和为目标数 target 的所有不同组合，并以列表形式返回。你可以按任意顺序返回这些组合。

candidates 中的同一个数字可以无限制重复被选取。如果至少一个数字的被选数量不同，则两种组合是不同的。

对于给定的输入，保证和为 target 的不同组合数少于150个。

四、示例

示例1

输入：

python 复制代码 
candidates = [2, 3, 6, 7]
target = 7

输出：

python 复制代码 
[[2, 2, 3], [7]]

解释 ：

2和3可以形成一组候选，2 + 2 + 3 = 7。注意2可以使用多次。

7也是一个候选，7 = 7。

仅有这两种组合。

示例2

输入：

python 复制代码 
candidates = [2, 3, 5]
target = 8

输出：

python 复制代码 
[[2, 2, 2, 2], [2, 3, 3], [3, 5]]

示例3

输入：

python 复制代码 
candidates = [2]
target = 1

输出：

python 复制代码 
[]

五、提示

  1. 1 <= candidates.length <= 30
  2. 2 <= candidates[i] <= 40
  3. candidates 的所有元素互不相同
  4. 1 <= target <= 40

思路

  1. 解空间：
  • 由输入无重复元素的整数数组candidates=[xxxx]和目标整数target寻找使数字和为目标数的所有不同组合path，result
  • 同一个数字candidates[i]可以被无限制重复选取
  1. 定义回溯函数参数与终止条件
  • 参数：
    • 输入：无重复元素的整数数组candidates=[xxxx]和目标整数target
    • 可行结果：path
    • 最终结果：result
    • 当前节点：start
  • 核心思想：
    • 不断尝试当前节点可能的路径，将当前节点可走的路径都尝试后，向后移动start ，更新节点位置。（这里不涉及回溯）
    • 回溯的含义是：找到了一条path后，把当前的path末尾的值吐出来，相当于往后退一步，再尝试其他的。
    • 所以这道题回溯点就是"找到了一条路"：当前path满足sum(path) == target。实际代码实现可能涉及直接动target，不一定非这样写！
    • 涉及剪枝：比如某条路，才走了一点，就发现此路不通！某两个节点相加后直接大于了target，那么就没有必要继续走这条路了，直接去掉这个值
  1. 具体代码实现步骤：
  • 再看回溯算法模板，一步步根据这道题背景把代码步骤填进去
python 复制代码 
def backtracking():
    # 定义回溯点
    if （回溯点）:  # 这条路走到底了
        （保存该结果）
        return
    else:
        # 逐步选择当前节点下的所有可能路径
        for route in all_route_set: 
            if （剪枝条件）: # 发现当前路不行
                （剪枝前的操作）
                return # 不继续往下走了，退回上层，换条路走
            else:  # 当前路径可行
                （保存当前数据）  # 向下走之前要记住已经走过了这个节点。保存
                （调用递归）self.backtracking(xx)  # 递归发生，继续向下走
                （回溯清理）  # 该节点下的路径都走完了！

  • 本题基本机制：target = target - candidates[i]

    • 不断递归，回溯检查target
    • target == 0：走到头，得到一条path，放入result后，回溯，即删掉path最后一个值
    • target < 0: 剪枝

  • 特解：空集candidates，则无结果，return []

  • 初始化回溯函数的参数：

    • 输入：无重复元素的整数数组candidates=[xxxx]和目标整数target
    • 可行结果：path = []
    • 最终结果：result = []
    • 当前节点：start = 0
    • 将candidates[i]按照从小到大排列好:candidates.sort()

  • 回溯函数：
    *

    先定义回溯点：

python 复制代码 
class Solution:
    def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        if len(candidates) == 0:
            return []
        candidates.sort()
        path = []
        res = []
        '''
        ！！！重点！！！
        在python中，如果传参是mutable var, 那么传参相当于引用，因此调用后，如果调用函数的内部对该传入变量进行修改，就会导致直接改变原始对象。这就是典型的privacy leak！！发生了。
        例如在这个，list就是该mutable var，而如果以path或res 为传参，放在__DFS 中， 那么就相当于在__DFS内部，实际上用的都是一个物理地址下的res和path，类似于全局变量。
        因此combinationSum下的局部变量path和res也在------DFS运行的过程中发生了改变。
        
        利用这个性质，我们可以把mutable var当成传入参数，从而实现全局变量的效果。
        '''
        self.__DFS(candidates, target, 0, path, res)
        return res
    '''
        DFS的实现
    '''
    def __DFS(self, candidates, target, begin, path, res):
        path = path.copy()
        # 递归出口 就是余数为0
        if target == 0:
            res.append(path)   #记录该符合条件的结果
            return
        
        #若当前路径有可能可行。
        for i in range(begin, len(candidates)):  # 我们现在到begin的节点上了
            if target - candidates[i] < 0:  # 剪枝条件
                return                      # 如果当前节点就不行了，就不用继续了,这里到不用继续了即包括该depth不用继续了，也包括该节点更大到child也不用继续了，该节点pop出来
            
            path.append(candidates[i])  #记录当前为止
            self.__DFS(candidates, target - candidates[i], i, path, res)# 向下继续走，记住递归不是return，递归到实现是调用！一旦return发生，递归停止。
            path.pop()  # 回朔清理。当前节点下的所有情况都进行完了，该节点也不应该在path里面了。
python 复制代码 
class Solution:
    def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        """
        主函数，用于调用深度优先搜索（DFS），回溯来解决组合问题，并且返回最终结果

        :param candidates: 无重复元素的整数数组，从中选取数字组成满足条件target的组合
        :param target: 目标整数，要使得选取的数字组合的加和达到的值
        :return: 满足条件的所有不同组合的列表，每个组合都是一个整数列表
        """
        # 特解：candidates空集：
        if len(candidates) == 0:  # 写成 not candidates 可以么？
            return []
        
        # 对候选数组candidates进行预先排序，方便后续剪枝操作
        candidates.sort()

        # 准备回溯函数的参数
        path = []    # 记录当前正在生成的一种数字组合情况，初始是空列表
        result = []  # 存储最终所有满足条件的数字组合，初始是空列表

        # 调用DFS开始回溯过程
        self.__DFS(candidates, target, 0, path, result)

        return result

        # 双下划线约定为"私有"方法，表示类的外部代码不应该直接调用这个函数
        def __DFS(self, condidates: List[int], target: int, begin: int, path: List[int], result: List[List[int]]):
            """
            深度优先搜索（DFS）函数，用DFS实现回溯算法找出满足条件的数字组合

            """
            # 先对path(上次递归得到的一条路)进行拷贝，
            # 避免后续操作中直接修改传入的path对象
            # （因为python中列表是可变对象，传参时可能出现意外修改情况）
            path = path.copy()
            
            # 设置递归出口：当目标值target==0
            # 说明当前path中的数字组合已经满足和为目标值的条件
            # 找到了一种满足条件的组合
            if target == 0:
                result.append(path)  # 存储path到result
                return               # 回到上个节点
            
            # 遍历从begin位置开始的condidates中的元素
            # 逐个尝试作为组合的一部分
            for i in range(begin, len(candidates)):
                # 剪枝：如果当前值特别大，走到这个值的时候，直接超过了target
                # 即，target - candidates[i] < 0
                # 此路不通！return！
                if target - candidates[i] < 0:
                    return 

                # 否则，将当前数值candidates[i]添加到path，记录正在尝试的组合情况
                path.append(candidates[i])

                # 添加后，相当于走到了下一个岔路口
                # 此时调用递归继续向下一层搜索！ 
                # path和result保持不变
                # 关键点在于，更新目标值为target-candidates[i]，表示剩余还需要凑的目标值
                # 本题更关键的！！！更新begin为i，
                # 因为candidates[i]可以被重复选择！！！所以暂时不要跳到下一个i+1！！！
                self.__DFS(candidates, target - candidates[i], i, path, res)

                # 当下一层递归返回后，说明当前节点下的所有（可重复选）
                # 可能情况都已经探索完成
                # 将path的最后一个元素弹出，恢复到添加该元素之前的状态，
                # 以便尝试下一个数字作为组合的一部分
                # 继续生成其他可能的满足条件的数字组合
                path.pop()
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
执行出错
AttributeError: 'Solution' object has no attribute '_Solution__DFS'
    ^^^^^^^^^^
    self.__DFS(candidates, target, 0, path, result)
Line 22 in combinationSum (Solution.py)
          ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
    ret = Solution().combinationSum(param_1, param_2)
Line 105 in _driver (Solution.py)
    _driver()
Line 120 in <module> (Solution.py)

这里的错误主要在于内部方法 __DFS 的定义位置和调用方式。

错误分析

在Python中，当你在类的方法内部定义另一个方法时，这样的内部方法不能像你代码中那样直接在类的其他方法中调用。你把 __DFS 方法定义在了 combinationSum 方法内部，这导致在 combinationSum 尝试调用 __DFS 时，Python无法正确识别这个方法，从而报出 'Solution' object has no attribute '_Solution__DFS' 的错误，意思是 Solution 类的实例没有名为 _Solution__DFS 的属性（方法在Python中也被视为属性）。

修正建议

要解决这个问题，你需要把 __DFS 方法定义在和 combinationSum 方法平级的位置，也就是都作为 Solution 类的直接方法，如下所示：

python 复制代码 
from typing import List


class Solution:
    def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        """
        主函数，用于调用深度优先搜索（DFS），回溯来解决组合问题，并且返回最终结果

        :param candidates: 无重复元素的整数数组，从中选取数字组成满足条件target的组合
        :param target: 目标整数，要使得选取的数字组合的加和达到的值
        :return: 满足条件的所有不同组合的列表，每个组合都是一个整数列表
        """
        # 特解：candidates空集：
        if len(candidates) == 0:  # 写成 not candidates 可以么？ 可以的，not candidates在candidates为空列表时会返回True，效果相同
            return []

        # 对候选数组candidates进行预先排序，方便后续剪枝操作
        candidates.sort()

        # 准备回溯函数的参数
        path = []    # 记录当前正在生成的一种数字组合情况，初始是空列表
        result = []  # 存储最终所有满足条件的数字组合，初始是空列表

        # 调用DFS开始回溯过程
        self.__DFS(candidates, target, 0, path, result)

        return result

    def __DFS(self, candidates: List[int], target: int, begin: int, path: List[int], result: List[List[int]]):
        """
        深度优先搜索（DFS）函数，用DFS实现回溯算法找出满足条件的数字组合

        """
        # 先对path(上次递归得到的一条路)进行拷贝，
        # 避免后续操作中直接修改传入的path对象
        # （因为python中列表是可变对象，传参时可能出现意外修改情况）
        path = path.copy()

        # 设置递归出口：当目标值target==0
        # 说明当前path中的数字组合已经满足和为目标值的条件
        # 找到了一种满足条件的组合
        if target == 0:
            result.append(path)  # 存储path到result
            return               # 回到上个节点

        # 遍历从begin位置开始的candidates中的元素
        # 逐个尝试作为组合的一部分
        for i in range(begin, len(candidates)):
            # 剪枝：如果当前值特别大，走到这个值的时候，直接超过了target
            # 即，target - candidates[i] < 0
            # 此路不通！return！
            if target - candidates[i] < 0:
                return

            # 否则，将当前数值candidates[i]添加到path，记录正在尝试的组合情况
            path.append(candidates[i])

            # 添加后，相当于走到了下一个岔路口
            # 此时调用递归继续向下一层搜索！
            # path和result保持不变
            # 关键点在于，更新目标值为target-candidates[i]，表示剩余还需要凑的目标值
            # 本题更关键的！！！更新begin为i，
            # 因为candidates[i]可以被重复选择！！！所以暂时不要跳到下一个i + 1！！！
            self.__DFS(candidates, target - candidates[i], i, path, result)

            # 当下一层递归返回后，说明当前节点下的所有（可重复选）
            # 可能情况都已经探索完成
            # 将path的最后一个元素弹出，恢复到添加该元素之前的状态，
            # 以便尝试下一个数字作为组合的一部分
            # 继续生成其他可能的满足条件的数字组合
            path.pop()

这样修改后，__DFS 作为 Solution 类的一个正常方法，可以在 combinationSum 方法中正确被调用，代码应该能按照预期执行回溯算法来解决组合总和问题。

如果不将 __DFS 方法设置为与 combinationSum 平级（即作为 Solution 类的直接方法），而是想在 combinationSum 方法内部定义并使用类似功能的内部函数来实现回溯逻辑，也是可以的，但需要做一些调整，主要是利用闭包的特性来实现。以下是一种修改后的示例代码：

python 复制代码 
from typing import List


class Solution:
    def combinationSum(self, candidates: List[int], target: int) -> List[List[int]]:
        """
        主函数，用于调用内部函数实现回溯来解决组合问题，并返回最终结果

        :param candidates: 无重复元素的整数数组，从中选取数字组成满足条件target的组合
        :param target: 目标整数，要使得选取的数字组合的加和达到的值
        :return: 满足条件的所有不同组合的列表，每个组合都是一个整数列表
        """
        # 特解：candidates空集：
        if len(candidates) == 0:
            return []

        # 对候选数组candidates进行预先排序，方便后续剪枝操作
        candidates.sort()

        # 准备回溯函数的参数
        path = []    # 记录当前正在生成的一种数字组合情况，初始是空列表
        result = []  # 存储最终所有满足条件的数字组合，初始是空列表

        # 定义内部函数，利用闭包访问外部函数的变量
        def inner_DFS(begin):
            nonlocal path, result, candidates, target

            # 先对path(上次递归得到的一条路)进行拷贝，
            # 避免后续操作中直接修改传入的path对象
            # （因为python中列表是可变对象，传参时可能出现意外修改情况）
            path = path.copy()

            # 设置递归出口：当目标值target==0
            # 说明当前path中的数字组合已经满足和为目标值的条件
            # 找到了一种满足条件的组合
            if target == 0:
                result.append(path)
                return

            # 遍历从begin位置开始的candidates中的元素
            # 逐个尝试作为组合的一部分
            for i in range(begin, len(candidates)):
                # 剪枝：如果当前值特别大，走到这个值的时候，直接超过了target
                # 即，target - candidates[i] < 0
                # 此路不通！return！
                if target - candidates[i] < 0:
                    return

                # 否则，将当前数值candidates[i]添加到path，记录正在尝试的组合情况
                path.append(candidates[i])

                # 添加后，相当于走到了下一个岔路口
                # 此时调用内部函数自身进行递归，继续向下一层搜索！
                # 注意这里调用的是内部函数inner_DFS，不是之前的平级方法__DFS
                inner_DFS(i)

                # 当下一层递归返回后，说明当前节点下的所有（可重复选）
                # 可能情况都已经探索完成
                # 将path的最后一个元素弹出，恢复到添加该元素之前的状态，
                # 以便尝试下一个数字作为组合的一部分
                # 继续生成其他可能的满足条件的数字组合
                path.pop()

        # 调用内部函数开始回溯过程，初始begin为0
        inner_DFS(0)

        return result
------------------------------------------------------------------------------
超时！

在上述代码中：

  • 我们在 combinationSum 方法内部定义了一个名为 inner_DFS 的内部函数，它通过 nonlocal 关键字声明了对外部函数（combinationSum）中的一些变量（path、result、candidates、target）的引用，这样就可以在内部函数中访问和修改这些外部变量，实现类似之前 __DFS 方法的功能。
  • 在 combinationSum 方法中，通过调用 inner_DFS(0) 来启动回溯过程，就像之前调用 __DFS 方法一样。

这种方式利用了闭包的特性，使得在方法内部定义的函数也能够访问和操作外部函数的相关变量，从而实现回溯算法来解决组合总和问题，但整体代码结构相对来说可能没有将 __DFS 作为平级方法那么清晰直观，所以在实际应用中，更常见的还是将相关的辅助方法定义为类的直接方法（平级），以便于代码的理解和维护。

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