题目描述
给定一个数列 \(A\)，数列的元素取值范围为 \(1,m\)。
请计算有多少个非空子区间满足以下条件：该区间内每个元素的出现次数都相同（没有出现的元素视为出现 \(0\) 次）。
例如，当 \(m=3\) 时，\(1,2,3\) 和 \(1,1,3,2,3,2\) 是满足条件的区间，而 \(1,2,2,3\) 和 \(1,1,3,3\) 不满足条件。
请计算数列 \(A\) 的满足条件的非空子区间数量。
输入格式
包含多组测试数据，第一行一个正整数 \(T\) 代表数据组数。
每组数据两行，第一行两个整数 \(n,m\)，代表序列长度和元素值域。
第二行 \(n\) 个整数，代表该序列，保证序列中的元素在 \(1,m\) 之间。
输出格式
\(T\) 行，每行一个整数，代表对应组数数据的序列的满足条件的非空子区间个数。
样例
样例输入 1
1
6 3
1 2 3 1 2 3样例输出 1
5样例解释 1
有 \(1,3,2,4,3,5,4,6,1,6\) 共 \(55\) 个。
样例输入 2
1
10 4
1 1 2 4 3 2 4 3 2 1样例输出 2
3样例解释 2
有 \(2,5,1,8,7,10\) 共 \(33\) 个。
数据范围与提示
对于 \(100%\) 的数据, \(1≤T≤5,1≤n≤106,1≤m≤n\)。
| 测试点 | \(n\) | \(m\) |
|---|---|---|
| \(1\) | \(≤50\) | \(≤50\) |
| \(2\) | \(≤300\) | \(≤300\) |
| \(3\) | \(≤3000\) | \(≤3000\) |
| \(4\) | \(≤7000\) | \(≤7000\) |
| \(5,6,7\) | \(≤7 × 10^4\) | \(≤300\) |
| \(8\) | \(≤3×10^5\) | \(≤3×10^5\) |
| \(9,10\) | \(≤10^6\) | \(≤10^6\) |
解法说明
首先让我们考虑一下暴力的做法。记 \(f_{i,j}\) 为截至第 \(i\) 项数字 \(j\) 出现的次数，显然对于区间 \((l,r]\)，当且仅当 \(\forall i,j \in 1,m,f_{r,i}-f_{l,i}=f_{r,j}-f_{l,j}\) 时，该区间合法。
接下来考虑优化。这事实上等价于对 \(f_i\) 和 \(f_j\) 求差分 数组，当二者差分数组相同 时，该区间合法。此时原问题转化为维护每个位置 \(f\) 的差分数组的集合，寻找匹配数。可以使用类似异或哈希 的技巧，求出每个位置 \(f\) 的差分数组的哈希值，从而快速求出答案。如此复杂度已足够优秀，可以拿到满分。
但从上文的异或哈希 角度出发，还能得到一个更简单的做法。用梅森旋转 生成 \(m-1\) 个数，分别作为 \(A_1\) 到 \(A_{m-1}\) 的哈希值，记其和的相反数 为 \(A_m\) 的哈希值。令 \(id_i\) 表示 \(i\) 的哈希值，记 \(f_i=\sum_{j=1}^i id_{A_j}\)，当所有数出现次数相同时，其哈希值之和应为 \(0\) 。即对于区间 \((l,r]\)，当且仅当 \(f_l=f_r\) 时，该区间合法 。故 \(f\) 中的相同元素的对数即为原问题的答案。
通过代码
cpp
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long//记得开long long
#define ull unsigned long long
const int N=1e6+10;
namespace IO{
inline int read(){ int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar(); return x*f; }
inline void write(int x){ if(x>9) write(x/10); putchar(x%10+'0'); }
}using namespace IO;//快读快写
namespace code{
int n,m,ans,id[N];
ull a[N],sum;
std::mt19937_64 random(time(0));//用梅森旋转算法生成高质量的伪随机数序列
void solve(){
n=read(),m=read(),ans=0,sum=0;//多测不清空，亲人两行泪
for(int i=1;i<m;++i) id[i]=random(),sum+=id[i];//为第 1 到 m-1 项赋哈希值
id[m]=-sum;//第 m 项的哈希值为前 m-1 项的哈希值的和的相反数
for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=a[i-1]+id[read()];//a[i] 表示第 1 到 i 项的哈希值的和
std::sort(a,a+n+1);//排序，方便计算
for(int i=1,cnt=1;i<=n;++i,++cnt,ans+=cnt-1) if(a[i]!=a[i-1]) cnt=0;//累加答案
write(ans),putchar('\n');
}
}
signed main(){
int T=read();
while(T--) code::solve();
return 0;
}