青训营刷题笔记17

问题描述

小M有一个 n×mn×m 的矩形蛋糕,蛋糕被分为 n×mn×m 个区域,每个区域都有一个美味度。她希望通过一刀将蛋糕切成两部分,一部分自己吃,另一部分给小团。切下的区域必须是完整的,即不能把某个小正方形切成两个小区域。

小M希望两个人吃的部分的美味度之和尽量接近。你的任务是计算出美味度差的最小值,即 ∣s1−s2∣∣s1​−s2​∣ 的最小值,其中 s1s1​ 是小M吃到的美味度,s2s2​ 是小团吃到的美味度。


测试样例

样例1:

输入:n = 2, m = 3, a = [[1, 1, 4], [5, 1, 4]]

输出:0

样例2:

输入:n = 3, m = 3, a = [[3, 2, 1], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

输出:3

样例3:

输入:n = 2, m = 2, a = [[1, 2], [3, 4]]

输出:2

问题分析

  1. 输入 :一个 n × m 的矩阵,其中每个元素表示对应位置的美味度。
  2. 输出:我们需要返回通过切割得到的美味度差的最小值。

关键点:

  • 切割方式:题目并未指定只能是水平切割或垂直切割,因此我们可以考虑两种方式:

    1. 水平切割:将矩阵分为上下两部分。
    2. 垂直切割:将矩阵分为左右两部分。
  • 美味度计算:美味度差是我们需要最小化的目标,即:

    ∣s1−s2∣∣s1​−s2​∣

    其中,s_1s_2 分别是上/左部分和下/右部分的美味度之和。

解题思路

  1. 计算总美味度 :首先,计算整个矩阵的美味度和 total_sum,这样我们可以方便地通过切割来计算每一部分的美味度。

  2. 尝试所有可能的切割方式

    • 对于水平切割,我们可以依次尝试每一行,将上方的部分和下方的部分分别作为两部分,计算它们的美味度差。
    • 对于垂直切割,我们可以依次尝试每一列,将左边的部分和右边的部分分别作为两部分,计算它们的美味度差。
  3. 优化方案

    • 对于每种切割方式,可以通过前缀和数组来加速计算每一部分的和。
    • 对于水平切割,可以利用每一行的美味度和来动态计算上方部分和下方部分的和。
    • 对于垂直切割,可以利用每一列的美味度和来动态计算左边部分和右边部分的和。

代码实现:

代码解释:

  1. 计算总美味度

    • 遍历整个矩阵,计算所有元素的和 total_sum,以便后续通过切割来计算两个部分的美味度之和。
  2. 水平切割

    • 对于每一行,计算其美味度和存储在 row_sum 中。
    • 通过逐步累加上方部分的和 sum_top,并计算下方部分的和 sum_bottom,然后更新最小美味度差。
  3. 垂直切割

    • 对于每一列,计算其美味度和存储在 col_sum 中。
    • 通过逐步累加左边部分的和 sum_left,并计算右边部分的和 sum_right,然后更新最小美味度差。

时间复杂度:

  • 时间复杂度O(n * m),因为我们需要遍历整个矩阵来计算总美味度和每行/列的和,且每次切割的操作是线性计算的。
  • 空间复杂度O(n + m),用于存储每一行和每一列的和。
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