Leetcode 组合

使用回溯来解决此问题。

提供的代码使用了回溯法(Backtracking),这是一种通过递归探索所有可能解的算法思想。以下是对算法思想的详细解释:


核心思想:

回溯法通过以下步骤解决问题:

  1. 路径选择:从当前状态出发,尝试所有可能的选项。
  2. 递归探索:对当前路径进行扩展,继续深入递归以构建更长的路径。
  3. 回退 :如果当前路径无法满足条件(如达到目标长度 k 或已遍历完所有可能性),撤销最后的选择并回退到上一步,尝试其他选项。

在这道题中:

  • 问题目标 :生成从 1n 中长度为 k 的所有组合。
  • 递归逻辑 :逐步选择当前范围内的数字,扩展路径,直到路径长度为 k
  • 回溯逻辑:在递归返回时,撤销选择以尝试其他可能性。

代码逐步解析:

  1. 初始化结果集

    java 复制代码
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();

    result 用于存储最终的所有组合结果。

  2. 调用回溯函数

    java 复制代码
    backtrack(result, new ArrayList<>(), n, k, 1);
    • result 是存储结果的容器。
    • tempList 是当前路径,用于记录正在构建的组合。
    • nk 是题目中给定的参数。
    • start 是当前搜索的起始数字,避免重复选择。
  3. 回溯函数的核心逻辑

    java 复制代码
    private void backtrack(List<List<Integer>> result, List<Integer> tempList, int n, int k, int start) {
        if (tempList.size() == k) {
            result.add(new ArrayList<>(tempList));
            return;
        }
    
        for (int i = start; i <= n; i++) {
            tempList.add(i);
            backtrack(result, tempList, n, k, i + 1);
            tempList.remove(tempList.size() - 1);
        }
    }
    • 递归终止条件

      java 复制代码
      if (tempList.size() == k) {
          result.add(new ArrayList<>(tempList));
          return;
      }

      如果当前路径 tempList 的长度达到了 k,将其加入结果集并停止进一步递归。

    • 循环遍历生成路径

      java 复制代码
      for (int i = start; i <= n; i++) {
          tempList.add(i); // 选择当前数字
          backtrack(result, tempList, n, k, i + 1); // 递归,向前扩展路径
          tempList.remove(tempList.size() - 1); // 撤销选择,回溯
      }

      每次选择当前数字 i,然后递归地选择下一个数字(从 i + 1 开始,避免重复)。递归返回后,撤销上一步的选择(即回退一步),尝试其他数字。

  4. 主函数调用

    java 复制代码
    System.out.println(solution.combine(4, 2)); // 示例1输出
    System.out.println(solution.combine(1, 1)); // 示例2输出

    打印从 1n 中长度为 k 的所有组合。


算法的时间复杂度分析

  • 状态空间 :从 n 个数字中选出 k 个的所有组合,状态空间大小为 ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} )。
  • 复杂度
    • 回溯会遍历所有可能的组合,每次生成一个组合需要 ( O(k) ) 的时间来构建路径。
    • 因此,总时间复杂度为 ( O(k \cdot C(n, k)) )。

算法的优点:

  • 高效性:只生成符合条件的路径,避免无效的路径探索。
  • 可扩展性:可用于解决类似的组合问题,如排列、子集等。

代码运行过程示例:

n = 4, k = 2 为例:

  1. 初始调用 backtrack([], 1)

  2. 递归过程中:

    • 选择 1,递归调用 backtrack([1], 2)
    • 在选择 1 的基础上,依次选择 234,生成组合 [1, 2][1, 3][1, 4]
    • 回退到空路径后,选择 2,依次选择 34,生成 [2, 3][2, 4]
    • 继续回退后,选择 3,选择 4,生成 [3, 4]
  3. 最终结果为:

    java 复制代码
    [[1, 2], [1, 3], [1, 4], [2, 3], [2, 4], [3, 4]]
java 复制代码
class Solution {
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
        backtrack(result, new ArrayList<>(), n, k, 1);
        return result;
    }

    private void backtrack(List<List<Integer>> result, List<Integer> tempList, int n, int k, int start) {
        if(tempList.size() == k) {
            result.add(new ArrayList<>(tempList));
            return;
        }
        
        //从start开始遍历, 生成所有可能的组合
        for(int i = start; i <= n; i++) {
            tempList.add(i);
            backtrack(result, tempList, n, k, i + 1); //递归生成下一层
            tempList.remove(tempList.size() - 1);//撤销上次的选择,tempList.size() - 1应该是元素下标
        }
    }
}
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