数学二常用公式（高等数学+线性代数）

GISMagic2024-12-06 8:03

目录

  • 高等数学
    • [第一章 函数、极限和连续](#第一章 函数、极限和连续)
    • [第二章 一元函数微分学](#第二章 一元函数微分学)
    • [第三章 一元函数积分学](#第三章 一元函数积分学)
    • [第四章 多元函数微分学](#第四章 多元函数微分学)
    • [第五章 多元函数积分学](#第五章 多元函数积分学)
    • [第六章 常微分方程](#第六章 常微分方程)
  • 线性代数
  • 线性代数篇章涉及的知识内容及常用公式
    • [第一章 行列式](#第一章 行列式)
    • [第二章 矩阵](#第二章 矩阵)
    • [第三章 向量](#第三章 向量)
    • [第四章 线性方程组](#第四章 线性方程组)
    • [第五章 矩阵的相似化简](#第五章 矩阵的相似化简)
    • [第六章 二次型](#第六章 二次型)

高等数学

第一章 函数、极限和连续

  • 常用公式 ：
    • 极限性质： lim ⁡ x → a f ( x ) = L \lim_{x \to a} f(x) = L limx→af(x)=L 表示当 x x x 趋近于 a a a 时， f ( x ) f(x) f(x) 趋近于 L L L。
    • 无穷小量： o ( 1 ) o(1) o(1) 表示比 1 1 1 高阶的无穷小量。
    • 连续性： f ( x ) f(x) f(x) 在 x = a x = a x=a 连续 ⇔ lim ⁡ x → a f ( x ) = f ( a ) \Leftrightarrow \lim_{x \to a} f(x) = f(a) ⇔limx→af(x)=f(a)。

第二章 一元函数微分学

  • 常用公式 ：
    • 导数定义： f ′ ( a ) = lim ⁡ h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} f′(a)=limh→0hf(a+h)−f(a)。
    • 四则运算法则： ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ (u \pm v)' = u' \pm v' (u±v)′=u′±v′， ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)' = u'v + uv' (uv)′=u′v+uv′， ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} (vu)′=v2u′v−uv′。
    • 链式法则： ( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) (f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)。
    • 微分中值定理： ∃ c ∈ ( a , b ) , such that f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a \exists c \in (a, b), \text{ such that } f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} ∃c∈(a,b), such that f′(c)=b−af(b)−f(a)。
    • 洛必达法则： lim ⁡ x → a f ( x ) g ( x ) = lim ⁡ x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} limx→ag(x)f(x)=limx→ag′(x)f′(x)（对于不确定形式 0 0 \frac{0}{0} 00 或 ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞）。

第三章 一元函数积分学

  • 常用公式 ：
    • 不定积分： ∫ f ( x )   d x = F ( x ) + C \int f(x) \, dx = F(x) + C ∫f(x)dx=F(x)+C，其中 F ( x ) F(x) F(x) 是 f ( x ) f(x) f(x) 的一个原函数。
    • 定积分： ∫ a b f ( x )   d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)。
    • 微积分基本定理： ∫ a b f ( x )   d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) ∫abf(x)dx=F(b)−F(a)，其中 F ( x ) F(x) F(x) 是 f ( x ) f(x) f(x) 的一个原函数。
    • 换元积分法： ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x )   d x = ∫ f ( u )   d u \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du ∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du，其中 u = g ( x ) u = g(x) u=g(x)。
    • 分部积分法： ∫ u   d v = u v − ∫ v   d u \int u \, dv = uv - \int v \, du ∫udv=uv−∫vdu。

第四章 多元函数微分学

  • 常用公式 ：
    • 偏导数： f x = ∂ f ∂ x f_x = \frac{\partial f}{\partial x} fx=∂x∂f， f x y = ∂ 2 f ∂ x ∂ y f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} fxy=∂x∂y∂2f。
    • 全微分： d f = f x   d x + f y   d y df = f_x \, dx + f_y \, dy df=fxdx+fydy。
    • 多元函数的链式法则： ( f ( g ( x , y ) ) ) ′ = f x g x + f y g y (f(g(x, y)))' = f_x g_x + f_y g_y (f(g(x,y)))′=fxgx+fygy。
    • 梯度： ∇ f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y ) \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) ∇f=(∂x∂f,∂y∂f)。

第五章 多元函数积分学

  • 常用公式 ：
    • 二重积分： ∬ D f ( x , y )   d A = ∫ x 1 x 2 ∫ y 1 y 2 f ( x , y )   d y   d x \iint_D f(x, y) \, dA = \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1}^{y_2} f(x, y) \, dy \, dx ∬Df(x,y)dA=∫x1x2∫y1y2f(x,y)dydx。
    • 三重积分： ∭ V f ( x , y , z )   d V = ∫ z 1 z 2 ∫ y 1 y 2 ∫ x 1 x 2 f ( x , y , z )   d x   d y   d z \iiint_V f(x, y, z) \, dV = \int_{z_1}^{z_2} \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1}^{x_2} f(x, y, z) \, dx \, dy \, dz ∭Vf(x,y,z)dV=∫z1z2∫y1y2∫x1x2f(x,y,z)dxdydz。
    • 格林公式： ∮ C ( L   d x + M   d y ) = ∬ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y )   d A \oint_C (L \, dx + M \, dy) = \iint_D \left( \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y} \right) \, dA ∮C(Ldx+Mdy)=∬D(∂x∂M−∂y∂L)dA。
    • 高斯公式（散度定理）： ∬ S F ⋅ d S = ∭ V ∇ ⋅ F   d V \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV ∬SF⋅dS=∭V∇⋅FdV。

第六章 常微分方程

  • 常用公式 ：
    • 一阶微分方程： y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y' + P(x)y = Q(x) y′+P(x)y=Q(x)。
    • 齐次方程： y ′ = f ( y / x ) y' = f(y/x) y′=f(y/x)。
    • 线性微分方程的通解： y = e ∫ P ( x )   d x ( ∫ Q ( x ) e − ∫ P ( x )   d x   d x + C ) y = e^{\int P(x) \, dx} \left( \int Q(x) e^{-\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) y=e∫P(x)dx(∫Q(x)e−∫P(x)dxdx+C)。
    • 伯努利方程： y ′ + P ( x ) y = Q ( x ) y n y' + P(x)y = Q(x)y^n y′+P(x)y=Q(x)yn，转化为线性方程后求解。
    • 常系数齐次线性微分方程： a y ′ ′ + b y ′ + c y = 0 ay'' + by' + cy = 0 ay′′+by′+cy=0，解为 y = e r 1 x , e r 2 x y = e^{r_1 x}, e^{r_2 x} y=er1x,er2x，其中 r 1 , r 2 r_1, r_2 r1,r2 是特征方程的根。

线性代数

线性代数篇章涉及的知识内容及常用公式

第一章 行列式

  • 行列式的定义：

    • 二阶行列式： det ⁡ ( A ) = ∣ a b c d ∣ = a d − b c \det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc det(A)= acbd =ad−bc
    • 三阶行列式： det ⁡ ( A ) = ∣ a b c d e f g h i ∣ = a ( e i − f h ) − b ( d i − f g ) + c ( d h − e g ) \det(A) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) det(A)= adgbehcfi =a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)

  • 行列式的性质：

    • 转置行列式： det ⁡ ( A T ) = det ⁡ ( A ) \det(A^T) = \det(A) det(AT)=det(A)
    • 行列式乘积： det ⁡ ( A B ) = det ⁡ ( A ) ⋅ det ⁡ ( B ) \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) det(AB)=det(A)⋅det(B)

  • 行列式的计算：

    • 按行（列）展开： det ⁡ ( A ) = ∑ j = 1 n a i j C i j \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij} det(A)=∑j=1naijCij，其中 C i j C_{ij} Cij是余子式。

第二章 矩阵

  • 矩阵的定义以及常见的特殊矩阵：

    • 单位矩阵： I n I_n In
    • 对角矩阵： d i a g ( a 1 , a 2 , ... , a n ) diag(a_1, a_2, \ldots, a_n) diag(a1,a2,...,an)
    • 三角矩阵： L L L（下三角）或 U U U（上三角）

  • 矩阵的运算：

    • 矩阵加法： A + B A + B A+B
    • 矩阵乘法： A B AB AB
    • 矩阵幂： A k A^k Ak
    • 矩阵转置： A T A^T AT

  • 矩阵的逆：

    • 逆矩阵： A − 1 A^{-1} A−1，满足 A A − 1 = A − 1 A = I AA^{-1} = A^{-1}A = I AA−1=A−1A=I

  • 矩阵的秩：

    • 矩阵的秩： rank ( A ) \text{rank}(A) rank(A)

第三章 向量

  • 向量组及其线性相关性：

    • 线性组合： c 1 v 1 + c 2 v 2 + ⋯ + c n v n = 0 c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0} c1v1+c2v2+⋯+cnvn=0
    • 线性无关：向量组中不存在非平凡的线性组合等于零向量。

  • 向量组的极大线性无关组与秩：

    • 向量组的秩： rank ( { v 1 , v 2 , ... , v n } ) \text{rank}(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}) rank({v1,v2,...,vn})

  • 向量空间：

    • 基： { e 1 , e 2 , ... , e n } \{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\} {e1,e2,...,en}
    • 维数： dim ( V ) \text{dim}(V) dim(V)

  • n 维欧几里得空间：

    • 内积： u ⋅ v \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} u⋅v
    • 范数： ∥ u ∥ \|\mathbf{u}\| ∥u∥

第四章 线性方程组

  • 线性方程组的表示及相关概念：

    • 齐次线性方程组： A x = 0 A\mathbf{x} = \mathbf{0} Ax=0
    • 非齐次线性方程组： A x = b A\mathbf{x} = \mathbf{b} Ax=b

  • 线性方程组的解：

    • 解的存在性： det ( A ) ≠ 0 \text{det}(A) \neq 0 det(A)=0时，方程组有唯一解。

第五章 矩阵的相似化简

  • 特征值与特征向量：

    • 特征值： λ \lambda λ满足 A v = λ v A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} Av=λv
    • 特征向量： v \mathbf{v} v对应于特征值 λ \lambda λ

  • 相似矩阵：

    • 相似矩阵： A A A和 B B B相似，如果存在可逆矩阵 P P P使得 A = P B P − 1 A = PBP^{-1} A=PBP−1

  • 矩阵的相似对角化：

    • 对角化： A A A可对角化，如果存在 P P P使得 P − 1 A P = D P^{-1}AP = D P−1AP=D，其中 D D D是对角矩阵。

第六章 二次型

  • 二次型及其矩阵表示：

    • 二次型： Q ( x ) = x T A x Q(x) = x^T A x Q(x)=xTAx
    • 矩阵表示： A A A是对称矩阵

  • 可逆线性变换：

    • 可逆变换： P P P可逆，如果 det ⁡ ( P ) ≠ 0 \det(P) \neq 0 det(P)=0

  • 二次型的标准形：

    • 标准形： Q ( x ) = ∑ i = 1 n λ i x i 2 Q(x) = \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2 Q(x)=∑i=1nλixi2

  • 正定二次型：

    • 正定： Q ( x ) > 0 Q(x) > 0 Q(x)>0对所有非零 x x x
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