【高等数学】第七章 微分方程——第五节 可降阶的高阶微分方程

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• [1. y ( n ) = f ( x ) y^{(n)} = f(x) y(n)=f(x)型的微分方程](#1. y ( n ) = f ( x ) y^{(n)} = f(x) y(n)=f(x)型的微分方程)

• [2. y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y'' = f(x, y') y′′=f(x,y′)型的微分方程](#2. y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y'' = f(x, y') y′′=f(x,y′)型的微分方程)

• [3. y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y'' = f(y, y') y′′=f(y,y′)型的微分方程](#3. y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y'' = f(y, y') y′′=f(y,y′)型的微分方程)

• 二阶及二阶以上的微分方程，即所谓高阶微分方程

• 对于有些高阶微分方程，我们可以通过代换将它化成较低阶的方程来求解

1. y ( n ) = f ( x ) y^{(n)} = f(x) y(n)=f(x)型的微分方程

• 形态
  微分方程
  y ( n ) = f ( x ) y^{(n)} = f(x) y(n)=f(x)
  的右端仅含有自变量 x x x
• 解法
  只要把 y ( n − 1 ) y^{(n - 1)} y(n−1)作为新的未知函数，那么微分方程就是新未知函数的一阶微分方程.
  两边积分，就得到一个 n − 1 n - 1 n−1阶的微分方程
  依次类推，连续积分 n n n次，便得含有 n n n个任意常数的通解

2. y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y'' = f(x, y') y′′=f(x,y′)型的微分方程

• 形态
  方程
  y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y'' = f(x, y') y′′=f(x,y′)
  的右端不显含未知函数 y y y
• 解法
  令 p = y ′ p=y' p=y′，方程可化为一阶线性微分方程 p ′ = f ( x , p ) p'=f(x,p) p′=f(x,p)
  设通解为 p = φ ( x , C 1 ) p=\varphi(x,C_1) p=φ(x,C1)
  将 p = y ′ = d y d x p=y'=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} p=y′=dxdy回代
  又得到了一个一阶线性微分方程 d y d x = φ ( x , C 1 ) \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi(x,C_1) dxdy=φ(x,C1)
  其通解为 y = ∫ φ ( x , C 1 ) d x + C 2 \displaystyle y=\int \varphi(x,C_1)\mathrm{d}x+C_2 y=∫φ(x,C1)dx+C2

3. y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y'' = f(y, y') y′′=f(y,y′)型的微分方程

• 形态
  方程
  y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y'' = f(y, y') y′′=f(y,y′)
  中不明显地含自变量 x x x
• 解法
  令 p = y ′ p=y' p=y′， y ′ ′ = d p d x = d p d y ⋅ d y d x = p d p d y y''=\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} y′′=dxdp=dydp⋅dxdy=pdydp
  微分方程就化为了一阶线性微分方程 p d p d y = f ( y , p ) p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=f(y,p) pdydp=f(y,p)
  通解为 p = y ′ = φ ( y , C 1 ) p=y'=\varphi(y,C_1) p=y′=φ(y,C1)
  分离变量并积分得
  通解为 ∫ d y φ ( y , C 1 ) = x + C 2 \displaystyle\int \dfrac{\mathrm{d}y}{\varphi(y, C_1)} = x + C_2 ∫φ(y,C1)dy=x+C2

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