【高等数学】第六章定积分的应用——第二节定积分在几何学上的应用

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1. 平面图形的面积

x x x为积分变量
两条曲线 y = f ( x ) , y = g ( x ) y=f(x),y=g(x) y=f(x),y=g(x)（ f ( x ) f(x) f(x)整体上在 g ( x ) g(x) g(x)上方）以及与 x = a , x = b x=a,x=b x=a,x=b围成的区域面积
S x = ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x S_x=\int_a^b[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x Sx=∫ab[f(x)−g(x)]dx
y y y为积分变量
两条曲线 x = f ( y ) , x = g ( y ) x=f(y),x=g(y) x=f(y),x=g(y)（ f ( y ) f(y) f(y)整体上在 g ( y ) g(y) g(y)右方）以及与 y = a , y = b y=a,y=b y=a,y=b围成的区域面积
S y = ∫ a b [ f ( y ) − g ( y ) ] d y S_y=\int_a^b[f(y)-g(y)]\mathrm{d}y Sy=∫ab[f(y)−g(y)]dy

以极角 θ \theta θ为积分变量
曲线 ρ = ρ ( θ ) \rho=\rho(\theta) ρ=ρ(θ)与 θ = α , θ = β \theta=\alpha,\theta=\beta θ=α,θ=β围成的曲边扇形 S θ = ∫ α β 1 2 ρ 2 ( θ ) d θ S_\theta=\int_\alpha^\beta\dfrac{1}{2}\rho^2(\theta)\mathrm{d}\theta Sθ=∫αβ21ρ2(θ)dθ

旋转体就是由一个平面图形 绕这平面内一条直线（旋转轴）旋转一周而成的立体
绕 x x x轴旋转
曲线 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)、直线 x = a x = a x=a、 x = b x = b x=b及 x x x轴所围成的曲边梯形绕 x x x轴旋转一周而成的立体体积
V x = ∫ a b π f 2 ( x ) d x V_x=\int_a^b\pi f^2(x)\mathrm{d}x Vx=∫abπf2(x)dx
绕 y y y轴旋转
曲线 x = f ( y ) x = f(y) x=f(y)、直线 y = a y = a y=a、 y = b y = b y=b及 y y y轴所围成的曲边梯形绕 y y y轴旋转一周而成的立体体积
V y = ∫ a b π f 2 ( y ) d y V_y=\int_a^b\pi f^2(y)\mathrm{d}y Vy=∫abπf2(y)dy

已知平行截面面积 S ( x ) S(x) S(x)
平行截面面积为已知的立体与平面 x = a , x = b x=a,x=b x=a,x=b相截的体积
V S = ∫ a b S ( x ) d x V_S=\int_a^b S(x)\mathrm{d}x VS=∫abS(x)dx

可求长
设 A , B A,B A,B是曲线弧的两个端点
在弧 A B ⌢ \overset{\frown}{AB} AB⌢上依次任取分点 A = M 0 , M 1 , M 2 , ⋯ , M i − 1 , M i , ⋯ , M n − 1 , M n = B A = M_0, M_1, M_2, \cdots, M_{i - 1}, M_i, \cdots, M_{n - 1}, M_n = B A=M0,M1,M2,⋯,Mi−1,Mi,⋯,Mn−1,Mn=B，并依次连接相邻的分点得一折线
当分点的数目无限增加且每个小段 M i − 1 M i ⌢ \overset{\frown}{M_{i - 1}M_i} Mi−1Mi⌢都缩向一点时
如果此折线的长 ∑ i = 1 n ∣ M i − 1 M i ∣ \displaystyle\sum_{i = 1}^{n} \vert M_{i - 1}M_i \vert i=1∑n∣Mi−1Mi∣的极限存在
那么称此极限为曲线弧 A B ⌢ \overset{\frown}{AB} AB⌢的弧长，并称此曲线弧 A B ⌢ \overset{\frown}{AB} AB⌢是可求长的
光滑曲线弧是可求长的
弧长公式
s = ∫ a b 1 + y ′ 2 d x \displaystyle s=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}\mathrm{d}x s=∫ab1+y′2 dx
s = ∫ α β ρ 2 + ρ ′ 2 d θ \displaystyle s=\int_\alpha^\beta\sqrt{\rho^2+\rho'^2}\mathrm{d}\theta s=∫αβρ2+ρ′2 dθ

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