1 正则变化的定义
在相空间中,如果以时间t为参数的坐标变换

使得满足哈密顿正则方程

的动力变量 和
变成满足新的正则方程

的新的动力变量 和
,则称该变换为正则变换。
该变换可逆的条件:雅可比行列式值不等于零

正则变换的充要条件,是把哈密顿原理

仍然变换为哈密顿原理。
2 正则变换定理
定理1 若存在一个
,
(k=1,2,...,N)及时间t的函数F=F(q,Q,t)使得下式成立,变化为正则的。
式中H是以变量
以及时间 t表示的哈密顿函数,
是另外一个以变量
以及时间t表示 的哈密顿函数。
定理2 若存在一个,
(k=1,2,...,N)及时间t的函数F=F(q,Q,t)使得下式成立,变化为正则的。
并且新的哈密顿函数为
定理3 设与
之间的变换式为
令
若
则变换是正则的。