leetcode46全排列

给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。

示例 1：

复制代码

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

示例 2：

复制代码

输入：nums = [0,1]
输出：[[0,1],[1,0]]

示例 3：

复制代码

输入：nums = [1]
输出：[[1]]

提示：

1 <= nums.length <= 6
-10 <= nums[i] <= 10
nums 中的所有整数 互不相同

步骤1：问题定义及分析

题目描述 ：

给定一个不含重复数字的整数数组 nums，返回其所有可能的全排列。全排列指的是数组中所有元素的不同排列方式。题目要求输出所有排列，可以按照任意顺序返回。

输入输出条件：

输入：一个不含重复数字的整数数组 nums。
输出：包含所有可能排列的二维数组。

限制条件：

1 <= nums.length <= 6
-10 <= nums[i] <= 10
nums 中的所有整数互不相同。

边界条件：

数组只有一个元素时，输出应该是该元素的排列，只有一个排列方式。
数组的长度较小（最大为6），因此可以使用递归或回溯算法，性能不会成为瓶颈。

步骤2：问题分解及解题思路

解题思路 ：要找出所有排列，我们可以采用回溯算法 ，回溯的核心思想是逐步选择每个位置的元素并进行递归搜索，当到达终点（即已选择了所有元素）时，就得到了一个排列。

回溯算法设计：

回溯的状态：每一次递归调用时，选择一个元素加入到当前排列中，剩余元素继续递归生成排列。
剪枝条件：当某个元素已经被选过时，不再选择该元素。
终止条件：当排列的长度等于数组长度时，表示已经生成了一个完整的排列，将其加入结果中。

递归步骤：

初始化一个空数组 path 用于存储当前排列。
使用一个布尔数组 used 来标记哪些元素已经被使用过。
通过递归生成排列：
- 遍历数组中的元素，选择尚未使用的元素加入当前排列。
- 标记该元素为已使用，递归进入下一层。
- 当当前排列长度等于 nums 的长度时，表示找到了一个有效的排列，加入结果。
- 回溯，撤销选择，继续尝试其他元素。

时间复杂度与空间复杂度：

时间复杂度 ：每个排列的生成时间是 O(n)，生成排列的总数是 n!，因此总时间复杂度是 O(n!)。
空间复杂度 ：需要存储每次递归状态的栈空间，最大深度为 n，因此空间复杂度是 O(n)。

步骤3：代码实现

以下是基于回溯算法的 C++ 实现：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    // 回溯函数
void backtrack(vector<int>& nums, vector<int>& path, vector<bool>& used, vector<vector<int>>& result) {
    // 终止条件：当路径长度等于nums长度时，表示找到了一个排列
    if (path.size() == nums.size()) {
        result.push_back(path);
        return;
    }
    
    // 遍历nums数组，进行回溯
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        // 剪枝条件：如果当前元素已经使用过，跳过
        if (used[i]) continue;
        
        // 做选择
        path.push_back(nums[i]);
        used[i] = true;
        
        // 递归生成排列
        backtrack(nums, path, used, result);
        
        // 撤销选择
        path.pop_back();
        used[i] = false;
    }
}

vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    vector<bool> used(nums.size(), false);  // 用于标记元素是否被使用
    backtrack(nums, path, used, result);
    return result;
}

};

代码注释：

backtrack 函数负责递归生成排列。它接收参数 nums（输入数组）、path（当前排列路径）、used（元素使用标记）、result（最终结果）。
当 path 的长度等于 nums 的长度时，说明当前排列已经完成，将其加入到结果 result 中。
通过递归逐步构建排列，每次选一个未被使用的元素加入 path，然后递归。递归完成后，撤销选择并继续尝试其他元素。
permute 函数是主函数，负责初始化回溯过程，并返回最终的排列结果。

步骤4：启发与总结

通过这个问题，我们可以获得以下启发：

回溯算法是处理组合、排列等问题的有力工具，特别适用于解答具有约束条件（如每个元素只能出现一次）的排列问题。
回溯算法的核心思想在于通过递归逐步构建解空间，利用"选择-递归-撤销选择"来枚举所有解。
该算法尤其适用于小规模数据（如 n <= 6 的情况），可以迅速给出正确解。

步骤5：实际应用示例

实际应用场景 ：

回溯算法中的排列生成不仅适用于基础的算法题，还可以广泛应用于多个实际问题中。例如：

任务调度与资源分配：在某些任务调度问题中，需要将多个任务安排在多个资源上，保证每个资源的任务顺序不重复。回溯算法可以用来生成所有可能的任务安排，并对其进行评估和选择。
旅行商问题（TSP）：尽管旅行商问题本身是一个NP难问题，但可以通过回溯方法生成所有可能的路径并选择最短路径作为解。
排列组合游戏：很多游戏和应用中需要生成或评估所有可能的排列。例如，在扑克游戏中，可能需要生成牌的所有组合，进行概率分析或策略优化。

示例：

假设在某个电子商务平台中，存在多个商品，商家希望为每个商品选择一个配送方式，并且希望了解所有可能的配送方案（即排列）。通过回溯算法，我们可以生成所有配送方案，并进行分析，优化物流调度策略。