内容来源
应用多元统计分析 北京大学出版社 高惠璇编著
威尔克斯 Λ \Lambda Λ 分布
回顾一元统计中的 F F F 分布
设 ξ ∼ χ 2 ( m ) , η ∼ χ 2 ( n ) \xi\sim\chi^2(m),\eta\sim\chi^2(n) ξ∼χ2(m),η∼χ2(n)，且相互独立，则
F = ξ / m η / n ∼ F ( m , n ) F=\frac{\xi/m}{\eta/n}\sim F(m,n) F=η/nξ/m∼F(m,n)
方差齐性检验
在两个总体 N ( μ 1 , σ x 2 ) , N ( μ 2 , σ y 2 ) N(\mu_1,\sigma^2_x),N(\mu_2,\sigma^2_y) N(μ1,σx2),N(μ2,σy2) 方差齐性检验中
X i ( i = 1 , ⋯ , m ) X_i(i=1,\cdots,m) Xi(i=1,⋯,m) 为来自 N ( μ 1 , σ x 2 ) N(\mu_1,\sigma^2_x) N(μ1,σx2) 的随机样本
Y i ( i = 1 , ⋯ , n ) Y_i(i=1,\cdots,n) Yi(i=1,⋯,n) 为来自 N ( μ 2 , σ y 2 ) N(\mu_2,\sigma^2_y) N(μ2,σy2) 的随机样本
则 σ x 2 \sigma^2_x σx2 和 σ y 2 \sigma^2_y σy2 的估计量（样本方差）分别为
s x 2 = 1 m − 1 ∑ i = 1 m ( X i − X ‾ ) 2 s^2_x=\frac{1}{m-1}\sum^m_{i=1}(X_i-\overline{X})^2 sx2=m−11i=1∑m(Xi−X)2
s y 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( Y i − Y ‾ ) 2 s^2_y=\frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}(Y_i-\overline{Y})^2 sy2=n−11i=1∑n(Yi−Y)2
则检验统计量
F = s x 2 s y 2 ∼ F ( m − 1 , n − 1 ) F=\frac{s^2_x}{s^2_y}\sim F(m-1,n-1) F=sy2sx2∼F(m−1,n−1)
广义方差定义
设 X ∼ N p ( μ , Σ ) X\sim N_p(\mu,\Sigma) X∼Np(μ,Σ)
则称协方差阵的行列式 ∣ Σ ∣ |\Sigma| ∣Σ∣ 为 X X X 的广义方差
设 X i X_i Xi 为总体 X X X 的随机样本， A A A 为样本离差阵
则称 ∣ 1 n A ∣ |\frac{1}{n}A| ∣n1A∣ 或 ∣ 1 n − 1 A ∣ |\frac{1}{n-1}A| ∣n−11A∣ 为样本广义方差
定义
设 A 1 ∼ W p ( n 1 , Σ ) , A 2 ∼ W p ( n 2 , Σ ) , ( Σ > 0 , n 1 ⩾ p ) A_1\sim W_p(n_1,\Sigma),A_2\sim W_p(n_2,\Sigma),(\Sigma>0,n_1\geqslant p) A1∼Wp(n1,Σ),A2∼Wp(n2,Σ),(Σ>0,n1⩾p)
且 A 1 A_1 A1 与 A 2 A_2 A2 独立，则广义方差之比
Λ = ∣ A 1 ∣ ∣ A 1 + A 2 ∣ \Lambda=\frac{|A_1|}{|A_1+A_2|} Λ=∣A1+A2∣∣A1∣
为威尔克斯统计量，其分布称为威尔克斯分布
记为 Λ ∼ Λ ( p , n 1 , n 2 ) \Lambda\sim\Lambda(p,n_1,n_2) Λ∼Λ(p,n1,n2)
与其他统计量的关系
当 n 2 = 1 n_2=1 n2=1 时
Λ ( p , n 1 , 1 ) = 1 1 + 1 n 1 T 2 ( p , n 1 ) \Lambda(p,n_1,1)=\frac{1}{1+\frac{1}{n_1}T^2(p,n_1)} Λ(p,n1,1)=1+n11T2(p,n1)1
T 2 ( p , n 1 ) = n 1 1 − Λ ( p , n 1 , 1 ) Λ ( p , n 1 , 1 ) T^2(p,n_1)=n_1\frac{1-\Lambda(p,n_1,1)}{\Lambda(p,n_1,1)} T2(p,n1)=n1Λ(p,n1,1)1−Λ(p,n1,1)
F ( p , n 1 − p + 1 ) = n 1 − p + 1 n 1 p T 2 ( p , n 1 ) = n 1 − p + 1 p 1 − Λ ( p , n 1 , 1 ) Λ ( p , n 1 , 1 ) F(p,n_1-p+1)=\frac{n_1-p+1}{n_1p}T^2(p,n_1) =\frac{n_1-p+1}{p}\frac{1-\Lambda(p,n_1,1)}{\Lambda(p,n_1,1)} F(p,n1−p+1)=n1pn1−p+1T2(p,n1)=pn1−p+1Λ(p,n1,1)1−Λ(p,n1,1)
当 n 2 = 2 n_2=2 n2=2 时
F ( 2 p , 2 ( n 1 − p + 1 ) ) = n 1 − p + 1 p 1 − Λ ( p , n 1 , 2 ) Λ ( p , n 1 , 2 ) F(2p,2(n_1-p+1))= \frac{n_1-p+1}{p}\frac{1-\sqrt{\Lambda(p,n_1,2)}} {\sqrt{\Lambda(p,n_1,2)}} F(2p,2(n1−p+1))=pn1−p+1Λ(p,n1,2) 1−Λ(p,n1,2)
当 p = 1 p=1 p=1 时
n 1 n 2 1 − Λ ( 1 , n 1 , n 2 ) Λ ( 1 , n 1 , n 2 ) = F ( n 2 , n 1 ) \frac{n_1}{n_2}\frac{1-\Lambda(1,n_1,n_2)}{\Lambda(1,n_1,n_2)} =F(n_2,n_1) n2n1Λ(1,n1,n2)1−Λ(1,n1,n2)=F(n2,n1)
当 p = 2 p=2 p=2 时
n 1 − 1 n 2 1 − Λ ( 2 , n 1 , n 2 ) Λ ( 2 , n 1 , n 2 ) = F ( 2 n 2 , 2 ( n 1 − 1 ) ) \frac{n_1-1}{n_2}\frac{}{}\frac{1-\sqrt{\Lambda(2,n_1,n_2)}} {\sqrt{\Lambda(2,n_1,n_2)}}=F(2n_2,2(n_1-1)) n2n1−1Λ(2,n1,n2) 1−Λ(2,n1,n2) =F(2n2,2(n1−1))
当 n 2 > 2 , p > 2 n_2>2,p>2 n2>2,p>2 时可用 χ 2 \chi^2 χ2 近似
− r ln Λ ∼ χ 2 ( p n 2 ) -r\ln\Lambda\sim\chi^2(pn_2) −rlnΛ∼χ2(pn2)
其中 r = n 1 − 1 2 ( p − n 2 + 1 ) r=n_1-\frac{1}{2}(p-n_2+1) r=n1−21(p−n2+1)
性质
1
若 Λ ∼ Λ ( p , n 1 , n 2 ) \Lambda\sim\Lambda(p,n_1,n_2) Λ∼Λ(p,n1,n2)
则存在 B k ∼ β ( n 1 − p + k 2 , n 2 2 ) , ( k = 1 , ⋯ , p ) B_k\sim\beta(\frac{n_1-p+k}{2},\frac{n_2}{2}),(k=1,\cdots,p) Bk∼β(2n1−p+k,2n2),(k=1,⋯,p) 相互独立
使得
Λ = B 1 B 2 ⋯ B p \Lambda=B_1B_2\cdots B_p Λ=B1B2⋯Bp
2
若 n 2 < p n_2<p n2<p，则
Λ ( p , n 1 , n 2 ) = Λ ( n 2 , p , n 1 + n 2 − p ) \Lambda(p,n_1,n_2)=\Lambda(n_2,p,n_1+n_2-p) Λ(p,n1,n2)=Λ(n2,p,n1+n2−p)
这是一元统计中 F ( n , m ) = 1 F ( m , n ) F(n,m)=\frac{1}{F(m,n)} F(n,m)=F(m,n)1 的推广