MATLAB直接推导函数的导函数和积分形式(具体方法和用例)

在 MATLAB 中,可以利用符号计算功能方便地推导函数的导函数和积分形式,以下为详细介绍具体的操作方法及示例:

一、求导函数(导数)

1. 基本语法

使用 diff 函数来求函数的导数,语法格式如下:
diff(f,x,n)

其中:

  • f 是需要求导的符号函数表达式,可以通过先定义符号变量,再基于这些变量构建函数来得到。
  • x 是指定的求导变量,即对哪个变量求导。
  • n 是可选参数,表示求导的阶数,默认值为 1,也就是求一阶导数,如果想求高阶导数则需要指定相应的阶数。
2. 示例代码

以下示例展示如何求函数 y = x^2 + 3*x + 1 关于 x 的一阶导数和二阶导数:

matlab

Matlab 复制代码
% 定义符号变量
syms x;
% 定义函数
y = x^2 + 3*x + 1;
% 求一阶导数
dy_dx = diff(y,x);
disp(dy_dx);
% 求二阶导数
d2y_dx2 = diff(y,x,2);
disp(d2y_dx2);

在上述代码中:

  • 首先通过 syms x 定义了符号变量 x,这为后续构建和操作符号函数做准备。
  • 接着定义了函数 y 的表达式为 x^2 + 3*x + 1
  • 然后使用 diff(y,x) 求出了函数 y 关于 x 的一阶导数,并将结果存储在 dy_dx 变量中进行显示输出。
  • 再使用 diff(y,x,2) 求出了函数 y 关于 x 的二阶导数,将结果存储在 d2y_dx2 变量中并输出,这里的 2 就表示求二阶导数这一参数设置。

如果函数中有多个变量,例如函数 z = x^2*y + sin(y),想分别对 xy 求导,示例代码如下:

matlab

Matlab 复制代码
% 定义符号变量
syms x y;
% 定义函数
z = x^2*y + sin(y);
% 对x求一阶导数
dz_dx = diff(z,x);
disp(dz_dx);
% 对y求一阶导数
dz_dy = diff(z,y);
disp(dz_dy);

这里先定义了两个符号变量 xy,构建函数 z 后,分别通过指定不同的求导变量,利用 diff 函数求出相应的偏导数。

二、求积分形式

1. 基本语法

使用 int 函数来求函数的不定积分和定积分,语法格式如下:

  • 求不定积分:int(f,x),表示求函数 f 关于变量 x 的不定积分。
  • 求定积分:int(f,x,a,b),表示求函数 f 关于变量 x 在区间 [a,b] 上的定积分,其中 a 为积分下限,b 为积分上限。
2. 示例代码

以下示例展示如何求函数 y = 2*x + 1 的不定积分以及在区间 [0, 1] 上的定积分:

matlab

Matlab 复制代码
% 定义符号变量
syms x;
% 定义函数
y = 2*x + 1;
% 求不定积分
int_y = int(y,x);
disp(int_y);
% 求定积分
definite_int_y = int(y,x,0,1);
disp(definite_int_y);

在上述代码中:

  • 同样先通过 syms x 定义符号变量,然后定义函数 y 的表达式为 2*x + 1
  • 使用 int(y,x) 求出函数 y 关于 x 的不定积分,并输出结果。
  • 使用 int(y,x,0,1) 求出函数 y 在区间 [0, 1] 上的定积分,也就是计算 的值,并输出结果。

如果是多元函数求积分,例如函数 z = x*y^2,想先对 x 求不定积分,示例如下:

matlab

Matlab 复制代码
% 定义符号变量
syms x y;
% 定义函数
z = x*y^2;
% 对x求不定积分
int_z_x = int(z,x);
disp(int_z_x);

这里先定义两个符号变量 xy,构建函数 z 后,通过 int(z,x) 实现对变量 x 的不定积分操作。

总之,通过 diffint 这两个函数,在 MATLAB 中可以很便捷地对各种函数进行求导以及求积分相关的运算推导。

三、案例如下

Matlab 复制代码
% 定义符号变量
syms x;
% 定义函数
y = 2*x^(-8) + exp(x^2) + 1;
% 求不定积分
int_y = int(y,x);
disp(int_y);
% 求定积分
definite_int_y = int(y,x,0.5,1);
disp(definite_int_y);

结果如下


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