问题描述
在 Berland 古老的 Bindian 部落中，首都被 nn 座山丘围成一个圆环，每个山丘上都有一名守望者，日夜观察着周围的情况。
如果有危险，守望者可以在山丘上点燃篝火。两座山丘的守望者可以看到彼此的信号，条件是：
- 沿着两座山丘之间的圆弧（顺时针或逆时针方向）没有比这两座山丘更高的山丘。
需要计算有多少对山丘可以互相看见信号。
输入格式
- 第一行包含一个整数 nn，表示山丘的数量 3≤n≤1063 \leq n \leq 10^6。
- 第二行包含 nn 个整数，表示按顺时针顺序排列的山丘高度。所有高度均为正整数，范围为 11 至 10910^9。
输出格式
输出能互相看见信号的山丘对数。
示例输入输出
示例 1：
输入：
5
1 2 4 5 3
输出：
7
示例 2：
输入：
4
3 3 3 3
输出：
12
解题思路
这是一个经典的「单调栈」问题，涉及到可见性和环形结构处理，分为以下几步：
1. 问题简化
- 如果所有山丘的高度都相同，则每一对山丘都可以互相看见，答案是 n×(n−1)n \times (n - 1)。
- 对于一般情况，使用单调栈来解决。
2. 单调栈的作用
通过单调栈，我们可以快速找到：
- 当前山丘是否有更高的山丘阻挡。
- 当前山丘可以看到多少个较低或等高的山丘。
3. 环形结构的处理
由于山丘排列是圆环结构，我们需要遍历两次数组（顺时针和逆时针）来模拟圆环的可见性。
4. 复杂度要求
由于 nn 的范围高达 10610^6，我们需要：
- 时间复杂度：O(n)O(n)。
- 空间复杂度：O(n)O(n)。
代码实现
以下是 Python 的完整代码实现：
def count_visible_pairs(n, heights):
# 如果所有山丘高度相同，则直接计算所有山丘对
if len(set(heights)) == 1:
return n * (n - 1)
# 单调栈方法，计算可见的山丘对
def calculate_pairs(heights):
stack = []
total_pairs = 0
# 遍历每个山丘
for h in heights:
count = 1
# 单调栈：移除较小或相等的山丘
while stack and stack[-1][0] <= h:
top = stack.pop()
total_pairs += top[1]
if top[0] == h:
count += top[1]
# 栈顶还有元素，说明能看到当前山丘
if stack:
total_pairs += 1
# 将当前山丘加入栈
stack.append((h, count))
return total_pairs
# 计算顺时针方向的可见山丘对
linear_pairs = calculate_pairs(heights)
# 计算逆时针方向的可见山丘对
reverse_pairs = calculate_pairs(heights[::-1])
# 总对数为顺时针和逆时针对数之和，但需要减去重复计算的部分
total_pairs = linear_pairs + reverse_pairs - n
return total_pairs
# 输入处理
n = int(input())
heights = list(map(int, input().split()))
# 计算并输出结果
print(count_visible_pairs(n, heights))
样例解析
示例 1
输入：
5
1 2 4 5 3
输出：
7
解析：
- 山丘对可以互相看见的情况为：
(1, 2), (2, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (5, 3), (2, 1)。
示例 2
输入：
4
3 3 3 3
输出：
12
解析：
- 所有山丘高度相同，所有对均可互相看见。
总共有 4×(4−1)=124 \times (4 - 1) = 12 对。
复杂度分析
-
时间复杂度：
- 单调栈遍历一次数组的时间复杂度为 O(n)O(n)。
- 因为需要两次遍历，整体时间复杂度为 O(2n)=O(n)O(2n) = O(n)。
-
空间复杂度：
- 单调栈的最大深度为 nn，空间复杂度为 O(n)O(n)。
该算法可以高效解决 n=106n = 10^6 的大规模输入问题。
总结
- 本题的核心是「单调栈」和「环形数组」的结合。
- 通过单调栈高效计算每个山丘的可见性，避免了暴力计算的 O(n2)O(n^2) 时间复杂度。
- 在环形数组中，我们通过两次遍历实现了对所有方向的处理。
这道题展示了如何用数据结构优化传统的暴力算法，是经典的竞赛题之一。
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