有限域、伽罗瓦域、扩域、素域、代数扩张、分裂域概念解释

一、定义

一个元素个数有限的域称为有限域或者伽罗瓦域

有限域中元素个数为素数，记为 G F ( p ) GF(p) GF(p)。

有限域中的元素运算满足交换律，结合律和分配律。

特征：存在某个正整数 m m m，使得对任意域中元素 a a a, m a = 0 ma=0 ma=0，则称特征为 m m m， C h a r F = m Char F=m CharF=m。

讨论每个元素非常麻烦，幸运的是我们只需要关注单位元。如果能使单位元称为0，那么该正整数就是特征。

有限域的特征一定是素数

证：

假设 ( p ) 不是素数 ：如果 p p p不是素数，那么 p p p可以表示为两个正整数 p = a ⋅ b p = a \cdot b p=a⋅b，其中 1 < a , b < p 1 < a, b < p 1<a,b<p。
考虑 a ⋅ b ⋅ 1 a \cdot b \cdot 1 a⋅b⋅1 ：由于 p ⋅ 1 = 0 p \cdot 1 = 0 p⋅1=0(1为乘法单位元，特征的性质)，我们有 a ⋅ b ⋅ 1 = 0 a \cdot b \cdot 1 = 0 a⋅b⋅1=0。
域的性质 ：在域中，乘法是结合的，所以 a ⋅ ( b ⋅ 1 ) = 0 a \cdot (b \cdot 1) = 0 a⋅(b⋅1)=0。由于 b ⋅ 1 b \cdot 1 b⋅1是域中的元素，且 b ≠ p b \neq p b=p，所以 b ⋅ 1 ≠ 0 b \cdot 1 \neq 0 b⋅1=0。
矛盾：因此，我们得到 a ⋅ ( b ⋅ 1 ) = 0 a \cdot (b \cdot 1) = 0 a⋅(b⋅1)=0，其中 a ≠ 0 a \neq 0 a=0且 b ⋅ 1 ≠ 0 b \cdot 1 \neq 0 b⋅1=0。这与域的性质矛盾，因为在域中，两个非零元素的乘积不能为零(域无零因子)。

素域：不包含任何真子域的域（其任何真子集都不能构成域）。

定理：阶为素数 p p p的有限域必然是素域，特征为这个素数 p p p。

证：设 K K K是 F F F的子域，那么 K K K的加法群是 F F F加法群的子群，那么 ∣ K ∣ ∣ ∣ F ∣ |K| ~|~|F| ∣K∣ ∣ ∣F∣， ∣ F ∣ |F| ∣F∣是素数，因此 ∣ K ∣ = ∣ F ∣ |K|=|F| ∣K∣=∣F∣

因为有限域特征为素数，假设 F F F特征为 p ′ p' p′。那么 K = { e , 2 e , . . . , p ′ e } K=\{e,2e,...,p'e\} K={e,2e,...,p′e}互不相等。封闭性知 K ⊂ F K\subset F K⊂F，所以 p ′ < p p'<p p′<p。 K K K是 F F F真子域。矛盾。

定理：特征为素数 p p p的域 F F F的素子域同构于 Z p Z_p Zp

证：设 P P P是 F F F的子域，那么 0 , 1 ∈ P 0,1\in P 0,1∈P。 F F F的特征为 p p p，因为 0 , 1 ∈ P 0,1\in P 0,1∈P，所以有 { m ⋅ 1 ∣ m ∈ Z } ⊂ P \{m\cdot 1|m\in Z\}\subset P {m⋅1∣m∈Z}⊂P。构造映射 ϕ : Z → P : m → m ⋅ 1 \phi:Z \rightarrow P: m\rightarrow m\cdot 1 ϕ:Z→P:m→m⋅1。
ϕ \phi ϕ是环同态映射， k e r ϕ = < p > ker\phi=<p> kerϕ=<p>。所以 Z p = Z / k e r ϕ Z_p=Z/ker\phi Zp=Z/kerϕ同构于 ϕ ( Z ) ⊂ P \phi(Z)\subset P ϕ(Z)⊂P.因为 Z p Z_p Zp是域， P P P是素域，所以两者同构。

代数元：设 K K K是 F F F的子域， a ∈ F a\in F a∈F,如果 a a a是 K K K上某个非零多项式的根，则称 a a a是 K K K上的代数元。如果 K K K上的一个扩张的所有元素均为 K K K上的代数元，那么称之为代数扩张。

设 K K K是 F F F的子域， a ∈ F a\in F a∈F,如果 a a a是 K K K上一个代数元，则 K [ x ] K[x] K[x]中满足 f ( a ) = 0 f(a)=0 f(a)=0的次数最小的多项式称之为 a a a在 K K K上的极小多项式，该多项式次数称之为代数元次数。极小多项式一定是不可约多项式。

设 K K K是 F F F的子域， ∣ K ∣ = q |K|=q ∣K∣=q， [ F : K ] = n [F:K]=n [F:K]=n，则 ∣ F ∣ = q n |F|=q^n ∣F∣=qn。

证： F F F看作向量空间， K K K看作基域， F F F的基为 b 1 , . . . b n b_1,...b_n b1,...bn。 F F F中的元素均可以表示为 a 1 b 1 + . . . + a n b n , a i ∈ K a_1b_1+...+a_nb_n,a_i\in K a1b1+...+anbn,ai∈K。因为 ∣ K ∣ = q |K|=q ∣K∣=q，所以一共有 q n q^n qn中线性表示。 ∣ F ∣ = q n |F|=q^n ∣F∣=qn

任何有限域的阶必然是 p n p^n pn形式的整数

证：

素域：任何有限域 F F F都包含一个素子域 G F ( p ) GF(p) GF(p)，其中 p p p是 F F F的特征。素域 G F ( p ) GF(p) GF(p) 是包含 p p p个元素的域，它的元素是 { 0 , 1 , 2 , ... , p − 1 } \{0, 1, 2, \ldots, p-1\} {0,1,2,...,p−1}。
扩张次数 ：有限域 F F F可以看作是素域 G F ( p ) GF(p) GF(p)的一个扩张。设 [ F : G F ( p ) ] = n [F:GF(p)] = n [F:GF(p)]=n，这意味着 F F F 可以看作是 G F ( p ) GF(p) GF(p)上的 n n n 维向量空间。
元素个数 ：由于 F F F是 G F ( p ) GF(p) GF(p) 上的 n n n 维向量空间， F F F 中的任何元素都可以唯一地表示为 G F ( p ) GF(p) GF(p) 中元素的线性组合。因此， F F F 中的元素个数是 p n p^n pn。
结论：因此，任何有限域的阶必然是 p n p^n pn 形式的整数。

具有相同元素个数的有限域都是同构的，因此阶为 p p p的有限域统一用 G F ( p ) GF(p) GF(p)表示。

举例：
F 9 F_9 F9可以看作 F 3 F_3 F3通过添加一个二次不可约多项式的根 a a a得到的代数扩张。极小多项式为 f ( x ) = x 2 + 1 f(x)=x^2+1 f(x)=x2+1是 F 3 F_3 F3上的不可约多项式。设 a a a为其在 F 9 F_9 F9的根，即 a 2 + 1 = 0 a^2+1=0 a2+1=0。则 1 , a 1,a 1,a是 F 9 F_9 F9在 F 3 F_3 F3的一组基，从而通过代数扩张得到 F 9 = { 0 , 1 , 2 , a , 1 + a , 2 + a , 2 a , 1 + 2 a , 2 + 2 a } F_9=\{0,1,2,a,1+a,2+a,2a,1+2a,2+2a\} F9={0,1,2,a,1+a,2+a,2a,1+2a,2+2a}。

从上面已知任何有限域的阶必然是 p n p^n pn形式的整数，那么对任意素数 p p p，任意正整数 n n n，是否存在阶位 p n p^n pn的有限域呢？答案是肯定的！

设 F F F的阶为 q q q， K K K是 F F F的子域， ∀ a ∈ F \forall a\in F ∀a∈F:

a q = a a^q=a aq=a
x q − x ∈ K [ x ] x^q-x\in K[x] xq−x∈K[x]在 K K K上的分裂域为 F F F，且 x q − x = ∏ a ∈ F ( x − a ) x^q-x=\prod_{a\in F}(x-a) xq−x=∏a∈F(x−a)

证：

a a a为零元，显然成立。 a a a不为零元， F F F中的非零元构成乘法阿贝尔群，阶位 q − 1 q-1 q−1， a q − 1 = e a^{q-1}=e aq−1=e,所以 a q = a a^q=a aq=a。
由1知， F F F的元素与多项式的根一一对应。 F F F的元素都是 x q − x x^q-x xq−x的根。所以 x q − x = ∏ a ∈ F ( x − a ) x^q-x=\prod_{a\in F}(x-a) xq−x=∏a∈F(x−a)。所以 x q − x x^q-x xq−x在 F F F里分裂， K K K上的分裂域为 F F F。

对于任意的素数 p p p，任意正整数 n n n，都存在阶为 p n p^n pn的有限域。任何阶为 p n p^n pn的有限域同构于 x p n − x x^{p^n}-x xpn−x在 Z p Z_p Zp的分裂域。

证：设 F F F是 x q − x x^q-x xq−x在 Z p Z_p Zp的分裂域（ q = p n q=p^n q=pn）。该多项式（模p）导数为1.因此该多项式在 F F F有 q q q个不同的根。

设 S = { a ∈ F ∣ a q − a = 0 } S=\{a\in F|a^q-a=0\} S={a∈F∣aq−a=0}，可以证明 S S S是 F F F的子域。又因为 f ( x ) f(x) f(x)在 S S S中可以分解成一次因式的乘积， S S S是在 Z p Z_p Zp的分裂域。 f ( x ) f(x) f(x)在 Z p Z_p Zp任意两个分裂域同构。则 S = F S=F S=F, ∣ S ∣ = q |S|=q ∣S∣=q，所以 ∣ F ∣ = q |F|=q ∣F∣=q。
∣ F ∣ = p n |F|=p^n ∣F∣=pn， F F F特征为 p p p，所以包含同构于 Z p Z_p Zp的素子域。所以 Z p [ x ] Z_p[x] Zp[x]上 x p n − x x^{p^n}-x xpn−x的分裂域为 F F F。分裂域唯一，所以任何阶为 p n p^n pn的有限域同构于 x p n − x x^{p^n}-x xpn−x在 Z p Z_p Zp的分裂域。

举例：

好的，让我们通过一个具体的例子来说明分裂域的概念。

例子：分裂域的构造

假设我们有一个多项式 f ( x ) = x 2 − 2 f(x) = x^2 - 2 f(x)=x2−2，我们想要找到这个多项式在有理数域 Q \mathbb{Q} Q 上的分裂域。

确定多项式的根：
- 多项式 f ( x ) = x 2 − 2 f(x) = x^2 - 2 f(x)=x2−2的根是 2 \sqrt{2} 2 和 − 2 -\sqrt{2} −2 。
- 这两个根都不是有理数，因此它们不在 Q \mathbb{Q} Q 中。
构造分裂域：
- 为了构造 f ( x ) f(x) f(x) 在 Q \mathbb{Q} Q 上的分裂域，我们需要包含这两个根。
- 考虑域扩张 Q ( 2 ) \mathbb{Q}(\sqrt{2}) Q(2 )，这是包含 2 \sqrt{2} 2 的最小域。
- 由于 − 2 -\sqrt{2} −2 可以通过乘以 − 1 -1 −1从 2 \sqrt{2} 2 得到，而 − 1 -1 −1已经在 Q \mathbb{Q} Q中，所以 − 2 -\sqrt{2} −2 也在 Q ( 2 ) \mathbb{Q}(\sqrt{2}) Q(2 ) 中。
验证分裂域：
- 在 Q ( 2 ) \mathbb{Q}(\sqrt{2}) Q(2 ) 中，多项式 f ( x ) f(x) f(x)可以分解为 ( x − 2 ) ( x + 2 ) (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) (x−2 )(x+2 )。
- 因此， Q ( 2 ) \mathbb{Q}(\sqrt{2}) Q(2 ) 是包含 f ( x ) f(x) f(x)所有根的最小域扩张。
结论：
- 多项式 f ( x ) = x 2 − 2 f(x) = x^2 - 2 f(x)=x2−2在 Q \mathbb{Q} Q 上的分裂域是 Q ( 2 ) \mathbb{Q}(\sqrt{2}) Q(2 )。
  域 Q ( 2 ) \mathbb{Q}(\sqrt{2}) Q(2 )包含所有可以表示为 a + b 2 a + b\sqrt{2} a+b2 形式的数，其中 a a a和 b b b是有理数。

因此具有相同个数的有限域是同构的。