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1.题目
https://leetcode.cn/problems/three-steps-problem-lcci/
三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。
示例1:
输入：n = 3 输出：4 说明: 有四种走法示例2:
输入：n = 5 输出：13提示:
- n范围在[1, 1000000]之间
2.三种常规解法
方法1:递归做
和之前青蛙跳台阶的思想一样(参见35.【C语言】详解函数递归文章),先找递推公式,再写递归
cpp
int recursion(int n)
{
if (n==1)
return 1;
if (n==2)
return 2;
if (n==3)
return 4;
return (recursion(n-1)+recursion(n-2)+recursion(n-3))%1000000007;
}
int waysToStep(int n)
{
return recursion(n);
}算法上没问题,但是时间复杂度过高,提交后没有通过
方法2:改用循环做
初写的代码
cpp
int waysToStep(int n)
{
if (n==1)
return 1;
if (n==2)
return 2;
if (n==3)
return 4;
int a=1;
int b=2;
int c=4;
int d=0;
for (int i=3;i<n;i++)
{
d=a+b+c;
a=b;
b=c;
c=d;
}
return c%1000000007;
}提交结果
分析
虽然代码中返回值写成c%1000000007,但是没有完全领会题目的意思,c的值并没有真正改变,可以看看报错的数字:当n==61时,"2082876103 + 1748130326"相加溢出了,可以设想2082876103和1748130326产生的原因,n==某个数溢出了,可以使程序溢出的n的临界值
将代码最后改成return c;测试n的值
多次尝试后
当未模1000000007时,
|-----------|------------|------------|
| n==34 | n==35 | n==34 |
| 615693474 | 1132436852 | 2082876103 |
615693474+1132436852=1748130326(大于1000000007),求出了出错提示上的两个数字
a+b+c可能数值超过int的范围,因此要分两次模1000000007,由于d=a+b+c,则程序的计算顺序为:先算a+b,后算+c,则应该对(a+b)先模1000000007再+c,再对d模一次
修改后的代码
cpp
d=(a+b)%1000000007+c;
d%=1000000007;
a=b;
b=c;
c=d;提交结果
for循环的其他写法
cpp
for (int i=3;i<n;i++)
{
d=(a+b)%1000000007+c;
a=b;
b=c;
c=d;
c%=1000000007;
}提交结果
方法3:循环+数组
cpp
int waysToStep(int n)
{
if (n==1)
return 1;
if (n==2)
return 2;
if (n==3)
return 4;
int* arr=(int*)malloc(sizeof(int)*(n+1));
arr[1]=1;
arr[2]=2;
arr[3]=4;
for (int i=4;i<=n;i++)
{
arr[i]=(arr[i-3]+arr[i-2])%1000000007+arr[i-1];
arr[i]%=1000000007;
}
return arr[n];
}提交结果
3.方法4:矩阵
算法
改写成矩阵形式
①
②
③
将上方三个式子合三为一
(关键式子)
递推
......
可以一直递推到
**************************************************************************************************************
**************************************************************************************************************
设则最终答案为
代码实践
1.先计算矩阵n次方
cpp
//矩阵[1,1,1;1,0,0;0,1,0]的n次方(n为计算次数)
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
int main()
{
int arr1[3][3] = { 1,1,1,1,0,0,0,1,0 };
int arr2[3][3] = { 0 };
int arr3[3][3] = { 1,1,1,1,0,0,0,1,0 };
int n;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (i % 2)//i为奇数
{
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
for (int j = 0; j < 3; j++)
{
arr2[i][j] = 0;
for (int k = 0; k < 3; k++)
{
arr2[i][j] += arr3[i][k] * arr1[k][j];
}
}
}
}
else
{
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
for (int j = 0; j < 3; j++)
{
arr3[i][j] = 0;
for (int k = 0; k < 3; k++)
{
arr3[i][j] += arr2[i][k] * arr1[k][j];
}
}
}
}
}
if (n % 2)
{
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
for (int j = 0; j < 3; j++)
{
printf("%d ", arr2[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
else
{
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
for (int j = 0; j < 3; j++)
{
printf("%d ", arr3[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
return 0;
}2.后将矩阵n次方嵌入递推式中
cpp
int waysToStep(int n)
{
if (n==1)
return 1;
if (n==2)
return 2;
if (n==3)
return 4;
long long arr1[3][3] = { 1,1,1,1,0,0,0,1,0 };
long long arr2[3][3] = { 0 };
long long arr3[3][3] = { 1,1,1,1,0,0,0,1,0 };
n-=4;//不是-3,计算的是矩阵n次方的运行次数
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (i % 2)//i为奇数
{
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
for (int j = 0; j < 3; j++)
{
arr2[i][j] = 0;
for (int k = 0; k < 3; k++)
{
arr2[i][j] += (arr3[i][k] * arr1[k][j])%1000000007;
}
}
}
}
else
{
for (int i = 0; i < 3; i++)
{
for (int j = 0; j < 3; j++)
{
arr3[i][j] = 0;
for (int k = 0; k < 3; k++)
{
arr3[i][j] += (arr2[i][k] * arr1[k][j])%1000000007;
}
}
}
}
}
if (n%2)
return (arr2[0][0]*4+arr2[0][1]*2+arr2[0][2])%1000000007;
else
return (arr3[0][0]*4+arr3[0][1]*2+arr3[0][2])%1000000007;
}提交结果
