我的线代观-秩(向量,矩阵)

都说秩是线代中不可避免的一环,当然,它其中最重要的一环。

我在学习线代之后,也有这种感受,它有着一种很绕的感受。

1.矩阵中

在矩阵中,它的秩是怎么定义的呢。它常常与行列式扯上关系,我们拿三阶矩阵为例。

若它的三阶行列式为零,但它的二阶行列式中有一个不为零,则说明,该三阶矩阵的秩为零。

当然,矩阵有着不同的形式,如有的矩阵是6x7阶的矩阵,说明该矩阵的秩最多最多为6,而不可能为7,为什么?因为他不可能构成7阶行列式来寻找行列式是否为零。如果6阶子式全为0,那我们就去看5阶子式是否有为0,若有五阶子式有一个不为零,那么秩就是五。

好了,以上就是矩阵秩的初步定义

1.1满秩

首先这个矩阵一定是要方的,其次,它的行列式不为零,则我们说它满秩。

1.2不满秩

同理,但是它的行列式是为零的。说明它不满秩序。

2.向量中

在向量中,秩是极为复杂的,因为它牵扯到了许多其他概念。

2.1线性无关

什么是线性无关呢,一组向量组中,

此时,我们说明该组向量组是线性无关的。

2.2线性相关

该方程说明该向量组是线性相关的。

2.3整体与局部

在整体和局部中我们有着

局部相关-----整体相关

整体无关-----局部无关

2.4极大无关组

即在一组向量组中,有那么一小组中的向量是线性无关的,但是这一组向量却能表示所有的向量,我们称这几个向量是极大无关组。

2.5向量的秩

我们定义向量的秩就是等于极大无关组,当然我们也可以将向量写成矩阵,用矩阵的方法来求解秩。

如果发现不管用矩阵还是极大无关组来求秩,我们都十分麻烦的话,我们就用向量化成矩阵,再对矩阵进行化简,化简成最简矩阵,此时它的阶梯口就是对应的极大无关组,

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