在数学中，"线性"是一个广泛应用的概念，涵盖了多种不同的领域，包括代数、几何、分析等。线性通常指的是在运算中遵循一定的规则和性质，特别是加法和标量乘法的规则。
1. 线性函数
线性函数通常是指形如 f ( x ) = a x f(x) = ax f(x)=ax 的函数，其中 a a a 是常数。这样的函数有以下两个特点：
- 加法封闭性 ：对于任意两个输入 x 1 x_1 x1 和 x 2 x_2 x2，有 f ( x 1 + x 2 ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)。
- 标量乘法封闭性 ：对于任意标量 α \alpha α 和输入 x x x，有 f ( α ⋅ x ) = α ⋅ f ( x ) f(\alpha \cdot x) = \alpha \cdot f(x) f(α⋅x)=α⋅f(x)。
严格地讲，线性函数 不包括常数项，这意味着它的形式应为 f ( x ) = a x f(x) = ax f(x)=ax，而不是 f ( x ) = a x + b f(x) = ax + b f(x)=ax+b。后者包含常数项 b b b，因此不符合严格的线性标准。
例如， f ( x ) = 3 x f(x) = 3x f(x)=3x 就是一个线性函数，因为它遵循加法和标量乘法的封闭性：
- f ( x 1 + x 2 ) = 3 ( x 1 + x 2 ) = 3 x 1 + 3 x 2 = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) f(x_1 + x_2) = 3(x_1 + x_2) = 3x_1 + 3x_2 = f(x_1) + f(x_2) f(x1+x2)=3(x1+x2)=3x1+3x2=f(x1)+f(x2)
- f ( α x ) = 3 ( α x ) = α ( 3 x ) = α f ( x ) f(\alpha x) = 3(\alpha x) = \alpha(3x) = \alpha f(x) f(αx)=3(αx)=α(3x)=αf(x)
如果函数形如 f ( x ) = a x + b f(x) = ax + b f(x)=ax+b，这类函数称为仿射函数 。仿射函数和线性函数类似，但由于存在常数项 b b b，它不满足严格的线性性质，尽管它仍然保持加法和标量乘法的封闭性。
线性函数与仿射函数的区别
- 线性函数 ：严格形式为 f ( x ) = a x f(x) = ax f(x)=ax，经过原点 ( 0 , 0 ) (0, 0) (0,0)，即 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f(0)=0。
- 仿射函数 ：形式为 f ( x ) = a x + b f(x) = ax + b f(x)=ax+b，可以不经过原点，即 f ( 0 ) = b f(0) = b f(0)=b。
虽然仿射函数与线性函数都遵循加法和标量乘法的封闭性，但仿射函数的零点不一定是原点 ，因为它包含一个常数项 b b b。
2. 线性变换
线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持加法和标量乘法的结构。具体来说，设有两个向量空间 V V V 和 W W W，一个线性变换 T : V → W T: V \to W T:V→W 满足：
- T ( u + v ) = T ( u ) + T ( v ) T(u + v) = T(u) + T(v) T(u+v)=T(u)+T(v) （对任意向量 u , v ∈ V u, v \in V u,v∈V）
- T ( α v ) = α T ( v ) T(\alpha v) = \alpha T(v) T(αv)=αT(v) （对任意标量 α \alpha α 和向量 v ∈ V v \in V v∈V）
常见的线性变换形式是矩阵变换 。例如，给定一个矩阵 A A A，它可以表示一个从向量空间 V V V 到 W W W 的线性变换。
例如，考虑二维空间的线性变换：
T ( ( x y ) ) = ( 2 x + y 3 x − 4 y ) T\left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 2x + y \\ 3x - 4y \end{pmatrix} T((xy))=(2x+y3x−4y)
这个变换可以用矩阵表示为：
T ( ( x y ) ) = ( 2 1 3 − 4 ) ( x y ) T\left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} T((xy))=(231−4)(xy)
这表明变换 T T T 是线性的，因为它满足加法和标量乘法的封闭性。
此外，线性变换 不仅限于矩阵变换，还可以通过其他方法来描述。例如，线性变换可以用代数映射 或者函数来定义。
3. 向量空间（线性空间）
向量空间是由向量构成的集合，它是数学中的一个基本结构，广泛应用于代数和几何。向量空间的基本特点是可以进行加法和标量乘法，并且满足一定的公理：
- 加法封闭性 ：对任意两个向量 u , v ∈ V \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V u,v∈V，有 u + v ∈ V \mathbf{u} + \mathbf{v} \in V u+v∈V。
- 标量乘法封闭性 ：对任意标量 α \alpha α 和向量 v ∈ V \mathbf{v} \in V v∈V，有 α ⋅ v ∈ V \alpha \cdot \mathbf{v} \in V α⋅v∈V。
- 交换律 ： u + v = v + u \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} u+v=v+u。
- 结合律 ： ( u + v ) + w = u + ( v + w ) (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) (u+v)+w=u+(v+w)。
- 存在零向量 ：存在零向量 0 \mathbf{0} 0，使得 v + 0 = v \mathbf{v} + \mathbf{0} = \mathbf{v} v+0=v。
- 存在逆元素 ：对任意向量 v \mathbf{v} v，存在向量 − v -\mathbf{v} −v，使得 v + ( − v ) = 0 \mathbf{v} + (-\mathbf{v}) = \mathbf{0} v+(−v)=0。
- 分配律 ： α ⋅ ( u + v ) = α ⋅ u + α ⋅ v \alpha \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \alpha \cdot \mathbf{u} + \alpha \cdot \mathbf{v} α⋅(u+v)=α⋅u+α⋅v。
- 结合律 ： α ⋅ ( β ⋅ v ) = ( α β ) ⋅ v \alpha \cdot (\beta \cdot \mathbf{v}) = (\alpha \beta) \cdot \mathbf{v} α⋅(β⋅v)=(αβ)⋅v。
- 标量的单位元 ： 1 ⋅ v = v 1 \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} 1⋅v=v。
向量空间的一个重要概念是维度。向量空间的维度是该空间中一个基底（线性独立的向量集合）中向量的数量。向量空间的维度决定了该空间的"大小"，也决定了可以在该空间中表示的向量数量。
向量空间的例子包括所有的二维或三维向量空间（如 R 2 \mathbb{R}^2 R2、 R 3 \mathbb{R}^3 R3），以及更高维度的空间，甚至函数空间也可以构成向量空间。
4. 线性方程组
线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，通常表示为：
A x = b A \mathbf{x} = \mathbf{b} Ax=b
其中， A A A 是系数矩阵， x \mathbf{x} x 是未知向量， b \mathbf{b} b 是常数向量。这个方程组被称为线性方程组，其解集通常是一个线性空间。线性方程组的求解方法包括高斯消元法、矩阵的逆运算等。
例如，考虑如下方程组：
2 x + y = 5 x − 3 y = − 4 \begin{aligned} 2x + y &= 5 \\ x - 3y &= -4 \end{aligned} 2x+yx−3y=5=−4
我们可以将其写成矩阵形式：
( 2 1 1 − 3 ) ( x y ) = ( 5 − 4 ) \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix} (211−3)(xy)=(5−4)
这就是一个线性方程组，求解它可以得到 x x x 和 y y y 的值。线性方程组的解的性质依赖于系数矩阵的秩。如果矩阵的秩小于列数，则方程组可能没有唯一解，或者存在无穷多解。
5. 线性独立与基底
线性独立指的是一个向量集合中的向量无法通过其他向量的线性组合表示。如果一组向量线性独立，那么它们不能通过相互加权来表示为其他向量的组合。反之，若向量组是线性相关的，则其中至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
例如，在二维空间
中，向量 v 1 = ( 1 0 ) \mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} v1=(10) 和 v 2 = ( 0 1 ) \mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} v2=(01) 是线性独立的，因为没有标量 α \alpha α 和 β \beta β 使得 α v 1 + β v 2 = 0 \alpha \mathbf{v_1} + \beta \mathbf{v_2} = \mathbf{0} αv1+βv2=0 除了 α = β = 0 \alpha = \beta = 0 α=β=0。
而一组线性独立的向量可以作为向量空间的基底，它们能够唯一表示空间中的任意向量。基底的数量即为该向量空间的维度。
6. 线性算子
在线性代数和泛函分析中，线性算子 是指从一个函数空间到另一个函数空间的映射，这种映射保持加法和标量乘法的性质。线性算子的一个典型例子是微分算子 ，如 d d x \frac{d}{dx} dxd 或 积分算子。
例如，微分算子 d d x \frac{d}{dx} dxd 是一个从函数空间到函数空间的线性算子，满足：
- d d x ( f ( x ) + g ( x ) ) = d d x f ( x ) + d d x g ( x ) \frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x) dxd(f(x)+g(x))=dxdf(x)+dxdg(x)
- d d x ( α f ( x ) ) = α d d x f ( x ) \frac{d}{dx} (\alpha f(x)) = \alpha \frac{d}{dx} f(x) dxd(αf(x))=αdxdf(x)
这种性质使得微分算子在分析函数的变化和性质时非常有用。