数据结构初阶---排序

青い月の魔女2025-01-12 16:32

一、排序相关概念与运用

1.排序相关概念

排序：所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。

稳定性：假定在待排序的记录序列中，存在多个具有相同的关键字的记录，若经过排序，这些记录的相对次序保持不变，即在原序列中，r[i]=r[j]，且r[i]在r[j]之前，而在排序后的序列中，r[i]仍在r[j]之前，则称这种排序算法是稳定的；否则称为不稳定的。

内部排序：数据元素全部放在内存中的排序。

外部排序：数据元素太多不能同时放在内存中，根据排序过程的要求不能在内外存之间移动数据的排序。

2.排序的运用

如下图：

3.排序算法

二、常见排序算法的实现

排序实现建议--->先单趟再多趟，先局部再整体

1.插入排序

①直接插入排序

void InsertSort(int* a, int size);

思想：把待排序的记录按其关键码值的大小逐个插入到一个已经排好序的有序序列中，直到所有的记录插入完为止，得到一个新的有序序列。

我们生活中所玩的扑克牌，当一副牌拿在手中，会习惯性的将牌有序排列，每次抽牌将其排列到手中牌组中的这个排序过程，就是一个直接插入排序。

由于插入数据之前需要保持数组有序，因此从下标0开始进行判断，创建一个end变量，end+1处的数据为插入数据，那么我们需要保证[0,end]数组为有序的。然后进行直接插入排序。

每次插入的数据不管是否需要排序，都在end+1的位置上。

插入排序的适应性很强，看起来是等差数列，O(N^2)，实际上只要不是严格的逆序，插入排序就不会达到等差数列。

cpp 复制代码 
//插入排序---直接插入排序
//时间复杂度O(N^2) --- 等差数列
//最好情况下复杂度O(N)
//对接近有序、有序的效率高
void InsertSort(int* a, int size)
{
	//从头开始排序
	for (int i = 0; i < size - 1; i++)
	{
		//每次插入的排序
		int end = i;
		int tmp = a[end + 1];
		while (end >= 0)
		{
			if (tmp < a[end])
			{
				a[end + 1] = a[end];
				end--;
			}
			else
			{
				break;
			}
		}
		a[end + 1] = tmp;
	}
}

直接插入排序的时间复杂度为O(N^2)，最好情况下为O(N)。

对于直接插入排序而言，对于接近有序或者就是目标有序的数组而言，是非常方便且高效的。(后续的希尔排序正是在这一点上对直接插入排序进行了改进)

对完全逆序的数组进行直接插入排序才会得到O(N^2)的时间复杂度。

直接插入排序与冒泡排序的时间复杂度都是O(N^2)，但是这只能说明两者在同一量级，不能说明两者一样好，直接插入排序的效率还是高于冒泡排序的。希尔排序就更高了。

②希尔排序

希尔排序，在直接插入排序的基础上进行了改变。

两个步骤：一：预排序--->得到一个接近有序的数组；二、直接插入排序--->得到有序数组

如何预排序呢？**希尔排序通过一个间隔值gap对数组数据进行分组。间隔gap的所有数据分为一组，那么一共就会分为gap组。**例如：数组有10个数据，间隔gap为3，那么下标0、3、6、9为一组、下标1、4、7为一组、下标2、5、8为一组。将10个数据分为了3组。

那么这三组数据，对每一组进行直接插入排序，就会将每一组较大数据置于组尾，小数置于组头，就会得到一个接近有序的数组。

再将接近有序的数组进行一次直接插入排序就完成了希尔排序。

cpp 复制代码 
//插入排序---希尔排序
//思路:两步，①间隔gap分组预排序---目的，接近有序
//           ②直接插入排序---目的，有序
//希尔排序的时间复杂度很难计算，平均下来是O(N^1.3)
void ShellSort(int* a, int size)
{
	int gap = size;
	while (gap > 1)
	{
		gap /= 2;//或者 gap = gap/3 + 1; 目的是保证最后一次是gap == 1，即直接插入排序
		//多组并排---不需要int j的三层循环了
		for (int i = 0; i < size - gap; i++)
		{
			int end = i;
			int tmp = a[end + gap];
			while (end >= 0)
			{
				if (tmp < a[end])
				{
					a[end + gap] = a[end];
					end -= gap;
				}
				else
				{
					break;
				}
			}
			a[end + gap] = tmp;
		}
	}
}

希尔排序的时间复杂度非常复杂，大致为O(N^1.3)，略慢于O(N*logN)。

2.选择排序

每一次从待排序的数据元素中选出最小(或最大)的一个元素，存放在序列的起始位置，直到全部待排序的数据元素排完 。

①直接选择排序

void SelectSort(int* a, int size);

一般的选择排序，选出最小数据然后置于序列头部，但是我们可以从两头同时选出最小数据与最大数据。

创建maxi、mini用于存储每一趟的最大数据与最小数据的下标，begin、end记录每一趟的开始位置与结束位置(下标)。具体思路如下图所示。

cpp 复制代码 
//选择排序---直接选择排序
//时间复杂度O(N^2)
//最好情况下O(N^2)
void SelectSort(int* a, int size)
{
	int begin = 0;
	int end = size - 1;
	while( begin < end )
	{
		int mini = begin;
		int maxi = begin;
		for (int i = begin; i <= end; i++)
		{
			if (a[i] < a[mini])
				mini = i;
			if (a[i] > a[maxi])
				maxi = i;
		}
		Swap(&a[end], &a[maxi]);
		if (mini == end)
			mini = maxi;//防止最小数据下标在maxi位置，前一步交换会改变最小数据的位置
		Swap(&a[begin], &a[mini]);

		begin++;
		end--;
	}
}

直接选择排序的时间复杂度为O(N^2)。N-2的等差数列，不管是否有序，都会遍历。

因此最好情况下时间复杂度依然为O(N^2)。

②堆排序

void HeapSort(int* a, int size);

详解参考二叉树有关堆的内容。

升序==>建大堆、选择排序。

降序==>建小堆、选择排序。

选择排序阶段即利用堆的性质，将堆顶数据与数组末尾数据交换并重新进行堆顶数据的向下调整。

cpp 复制代码 
//向下调整算法O(logN)
void AdjustDown(int* a, int size, int parent)
{
	int child = 2 * parent + 1;
	while (child < size)
	{
		if (child + 1 < size && a[child] < a[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (a[parent] < a[child])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = child * 2 + 1;
		}
		else
			break;
	}
}

//选择排序---堆排序
//升序建大堆
//时间复杂度O(N*logN)
void HeapSort(int* a, int size)
{
	//O(logN)
	for (int i = (size - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, size, i);
	}
	//O(N*logN)
	for(int i=size-1;i>=0;i--)
	{
		Swap(&a[0], &a[i]);
		AdjustDown(a, i, 0);
	}
}

堆排序的时间复杂度为O(N*logN)。

3.交换排序

①冒泡排序

cpp 复制代码 
//交换排序---冒泡排序
//时间复杂度O(N^2)---等差数列
//最好情况O(N)---接近有序或者有序
void BubbleSort(int* a, int size)
{
	//趟次
	for (int j = 0; j < size; j++)
	{
		bool exchange = false;
		//每一趟内的冒泡排序
		for (int i = 0; i < size - 1 - j; i++)
		{
			if (a[i] > a[i + 1])
			{
				Swap(&a[i], &a[i + 1]);
				exchange = true;
			}
		}
		//for (int i = 1; i < size - j; i++)
		//{
		//	if (a[i] > a[i - 1])
		//	{
		//		Swap(&a[i], &a[i - 1]);
		//		exchange = true;
		//	}
		//}
		//如果是false说明原数列升序 
		if (exchange == false)
			break;
	}
}

冒泡排序时间复杂度O(N^2)。

对于接近有序或者有序的数组，是冒泡排序的最好情况，O(N)。

②快速排序

递归快排的三种方法
[I]Hoare法

给出一个关键字key，keyi代表关键字数据的下标，创建两个下标变量left与right，right处于序列尾，left处于序列头，right先遍历，寻找比关键字key小的数据并停止遍历，left后遍历，寻找比关键字key大的数据并停止遍历，二者停止后交换二者位置处的数据，即将比key小的数据置于数组左侧，大的数据置于数组右侧，继续循环直到left与right相遇停止，然后交换关键字数据和相遇位置数据，就将key数据置于了一个正确的排序位置，最后更改下标keyi为相遇位置。

以上就完成了一趟快速排序，完成了对一个关键字key的正确位置放置。那么对于快速排序而言，排好了该关键字后，就将整个数组拆分为了三部分：[begin , keyi - 1] keyi [keyi + 1 , end]。前后两部分又是重复上述快速排序操作，因此可以使用递归简单的写出快速排序：

这就是Hoare法的冒泡排序：

cpp 复制代码 
//快速排序(递归)
void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{
	if (begin >= end)
		return;
	//三数取中
	int midi = GetMidi(a, begin, end);
	Swap(&a[midi], &a[begin]);

	int keyi = PartSort1(a, begin, end);//三种思路---Hoare、挖坑和前后指针

	//将数组分为3部分---[begin , keyi-1] keyi [keyi+1 , end]
	QuickSort(a, begin, keyi - 1);
	QuickSort(a, keyi + 1, end);
}
cpp 复制代码 
//Hoare法
int PartSort1(int* a, int begin, int end)
{
	int keyi = begin;
	int left = begin;
	int right = end;
	while (left < right)
	{
		//先右边找大
		while (left < right && a[right] >= a[keyi])
		{
			right--;
		}
		//再左边找小
		while (left < right && a[left] <= a[keyi])
		{
			left++;
		}
		//都需要满足left<right的条件
		Swap(&a[left], &a[right]);
	}
	//将keyi处数据移动到正确排序位置
	Swap(&a[left], &a[keyi]);
	keyi = left;
	return left;
}

如果每次的关键字正确位置不在中间，而是在两侧，那么会导致快速排序的效率降低！约O(N^2)，因此我们需要使用一些操作来弥补这一个缺陷，那么就有三数取中的方法，取begin与end中间值mid，找出三个下标对应的数据中，中间大小的数据，将其与begin处数据交换，这样keyi虽然仍然是begin，但是数据却得到了改变，提高了快速排序的效率。

cpp 复制代码 
	int midi = GetMidi(a, begin, end);
	int keyi = begin;
	Swap(&a[midi], &a[begin]);
cpp 复制代码 
//三数取中
int GetMidi(int* a ,int begin, int end)
{
	int midi = (begin + end) / 2;
	if (a[begin] > a[end])
	{
		if (a[end] > a[midi])
			return end;
		else
		{
			if (a[begin] > a[midi])
				return midi;
			else
				return begin;
		}
	}
	else
	{
		if (a[end] < a[midi])
			return end;
		else
		{
			if (a[begin] < a[midi])
				return midi;
			else
				return begin;
		}
	}
}

另一种优化方式是，对于区间大小小于10(自取，不要过大)的区间，有几个数据就会采取几次递归，效率低下，可以使用直接插入排序进行优化：

cpp 复制代码 
	//小区间优化
	if (end - begin + 1 <= 10)
		InsertSort(a + begin, end - begin + 1);
	//小区间不多次使用递归，而采用直接插入排序进行排序
[II]挖坑法

递归的快速排序，第二种方法是挖坑法，在Hoare法的基础上，对其进行优化：

现将key位置作为坑位，右下标变量right向左遍历找小，找到放入坑位，然后坑位hole变为此时的right位置，接着左下标变量left向右遍历找大，找到放入坑位，坑位hole变为此时的left位置，循环直到left与right相遇，此时将hole下标处的数据置为key，完成一趟快速排序：

cpp 复制代码 
//快速排序(递归)
void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{
	if (begin >= end)
		return;
	//三数取中
	int midi = GetMidi(a, begin, end);
	Swap(&a[midi], &a[begin]);


	int keyi = PartSort2(a, begin, end);//三种思路---Hoare、挖坑和前后指针

	//将数组分为3部分---[begin , keyi-1] keyi [keyi+1 , end]
	QuickSort(a, begin, keyi - 1);
	QuickSort(a, keyi + 1, end);
}
cpp 复制代码 
//挖坑法
int PartSort2(int* a, int begin, int end)
{
	//排序
	int key = a[begin];
	int left = begin;
	int right = end;
	int hole = begin;
	while (left < right)
	{
		//先右边找大，填到左边的坑中
		while (left < right && a[right] >= key)
		{
			right--;
		}
		a[hole] = a[right];
		hole = right;
		//再左边找小，填到右边的坑中
		while (left < right && a[left] <= key)
		{
			left++;
		}
		a[hole] = a[left];
		hole = left;
	}
	a[hole] = key;
	return hole;
}
[III]前后指针法

创建prev与cur下标变量，使用cur进行数组遍历，当cur处数据小于key时，prev自增1并交换prev与cur下标，最后cur++；当cur处数据大于key时，cur++，prev不做处理。

cpp 复制代码 
//快速排序(递归)
void QuickSort(int* a, int begin, int end)
{
	if (begin >= end)
		return;
	//三数取中
	int midi = GetMidi(a, begin, end);
	Swap(&a[midi], &a[begin]);

    int keyi = PartSort3(a, begin, end);//三种思路---Hoare、挖坑和前后指针
    //将数组分为3部分---[begin , keyi-1] keyi [keyi+1 , end]
    QuickSort(a, begin, keyi - 1);
	QuickSort(a, keyi + 1, end);
}
cpp 复制代码 
//前后指针cur、prev法
//prev指向begin，cur指向begin下一个
//思路:cur遍历，遇到小于key的数据，prev++然后交换二者，cur++
//              遇到大于key的数据，cur++,prev不变
int PartSort3(int* a, int begin, int end)
{
	int prev = begin;
	int cur = begin + 1;
	int keyi = begin;
	while (cur <= end)
	{
		if (a[cur] < a[keyi])
		{
			Swap(&a[++prev], &a[cur]);
		}
		cur++;

		//也可以这么写
		//if (a[cur] < a[keyi] && ++prev != cur)
		//	Swap(&a[prev], &a[cur]);
		//cur++;
	}
	Swap(&a[keyi], &a[prev]);
	keyi = prev;
	return prev;
}

我们需要注意的是，三种递归快排的方法，中间趟数的排序结果是不同的！因此，在面对一些选择题时，需要去判断题目中所使用到的快排的方法！

快速排序的非递归方法

借助栈的数据结构，采取压栈的形式对下标进行划分以及数据排序。

cpp 复制代码 
//快速排序(非递归)
//递归-->非递归的两种方式：1.循环 2.借助栈(循环不能很好解决时)
void QuickSortNonR(int* a, int begin , int end)
{
	AS as;
	AStackInit(&as);
	AStackPush(&as, begin);
	AStackPush(&as, end);
	while (!AStackEmpty(&as))
	{
		int right = AStackTop(&as);
		AStackPop(&as);
		int left = AStackTop(&as);
		AStackPop(&as);
		//这里我们选择了右先压栈，左后压栈

		int keyi = PartSort3(a, left, right);
		//[left , keyi - 1] keyi [keyi + 1 , right]
		if(left < keyi - 1)
		{
			//前面选择左后压栈，这里就得先左侧压栈
			AStackPush(&as, left);
			AStackPush(&as, keyi - 1);
		}
		if (keyi + 1 < right)
		{
			AStackPush(&as, keyi + 1);
			AStackPush(&as, right);
		}
	}
	AStackDestroy(&as);
}

4.归并排序

前面学到的顺序表两个有序数组的合并，其实就是一个归并的过程，那么如果给我们一个数组，怎么将其转换为两个或多个有序数组来进行合并呢？

我们可以递归将数组划分为多个区间，每个区间尽可能小的时候，如1个数据，区间长度为1时，就可以排该区间，那么从划分的最底层的小区间开始，逐步向上进行排序，就能够完成归并排序。

这样的思路，我们很容易联想到后序遍历，所以递归顺序是与后续遍历相同的。

我们在堆区开辟与原数组同样大小的一块空间，将排好序的数据存入到空间中，将其拷贝到原数组中，最后释放空间。

cpp 复制代码 
void _MergeSort(int* a, int begin, int end, int* tmp)
{
	if (begin >= end)
		return;
	int mid = (begin + end) / 2;
	//区间[begin , mid][mid+1 , end]
	//类后序遍历
	_MergeSort(a, begin, mid, tmp);
	_MergeSort(a, mid + 1, end, tmp);
	//归并操作
	int begin1 = begin, end1 = mid;
	int begin2 = mid + 1, end2 = end;
	int i = begin;
	while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
	{
		if (a[begin1] < a[begin2])
			tmp[i++] = a[begin1++];
		else
			tmp[i++] = a[begin2++];
	}

	while (begin1 <= end1)
	{
		tmp[i++] = a[begin1++];
	}

	while (begin2 <= end2)
	{
		tmp[i++] = a[begin2++];
	}

	//将tmp中所有数据拷贝到数组a中
	memcpy(a + begin, tmp + begin, sizeof(a[0]) * (end - begin + 1));
}

//归并排序
//归并排序，两个数组有序，将其合并为一个有序数组，那么如何确保分开的两个区间有序呢？一直分就可以了
void MergeSort(int* a, int size)
{
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(a[0]) * size);
	if (tmp == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
	}
	_MergeSort(a, 0, size - 1, tmp);
	
	free(tmp);
	tmp = NULL;
}

非递归的归并排序

递归的归并排序，将数组划分为小区间，使每个小区间归并有序，是逐步向下递归划分并排序的，但是对于非递归的归并排序而言，如果采用栈或者队列的数据结构，类似快速排序的非递归实现，是比较困难的，因为就算压栈，对于一趟快排能够锁定一个数据的正确位置，但是归并排序并不可以，因为采取栈或者队列模拟递归过程，并没有由小区间往回归并的过程，只有划分小区间并排序的过程，因此不适用于非递归的归并排序。

那么对于非递归的归并排序，我们可以直接进行划分，从1个数据开始归并，到2个数据归并，一直到N/2个数据与N/2个数据归并最后结束。

cpp 复制代码 
//归并排序---非递归
//递归的归并排序是递归到每个小区间进行归并，非递归直接拆分区间归并
void MergeSortNonR(int* a, int size)
{
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * size);
	if (tmp == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}

	int gap = 1;//gap是每一组的个数，每一组跟后一组进行归并
	while (gap < size)
	{
		for (int i = 0; i < size; i += gap * 2)
		{
			int begin1 = i, end1 = i + gap - 1;//[a,b]长度为b-a+1 ===>b = a+长度-1
			int begin2 = i + gap, end2 = i + gap + gap - 1;

			if (end1 >= size || begin2 >= size)
				break;

			if (end2 >= size)
				end2 = size - 1;

			//[begin1 , end1][begin2 , end2]归并
			int j = begin1;
			while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
			{
				if (a[begin1] < a[begin2])
					tmp[j++] = a[begin1++];
				else
					tmp[j++] = a[begin2++];
			}
			while (begin1 <= end1)
			{
				tmp[j++] = a[begin1++];
			}
			while (begin2 <= end2)
			{
				tmp[j++] = a[begin2++];
			}

			memcpy(a + i, tmp + i, sizeof(int) * (end2 - i + 1));
		}
		gap *= 2;
	}

	free(tmp);
	tmp = NULL;
}

Extra.外排序与内排序

内排序：内存中排序

外排序：磁盘中排序

上面所讲到的插入排序(直接插入排序、希尔排序)、选择排序(直接选择排序、堆排序)、交换排序(冒泡排序、快速排序)、归并排序都是内排序。

归并排序同时也是外排序。

归并排序是内排序时，从小区间依次排序，外排序时，如果基数特别大，如10亿整数排序，则取1G的数据量置入内存使用希尔/快速/堆排序进行排序，使该数据量有序，将10亿整数拆分成多个有序的1G的数据序列，利用归并排序进行排序。

5.计数排序

计数排序没有用到比较的思想，而是将需要排序的数组的数据使用另一个数组进行计数，两个数组依靠待排序数组的数据与count数组的下标的相对位置从而形成对应，对于计数排序而言，时间复杂度很低可至O(N)，但是局限性也不少。

计数排序的时间复杂度O(N+Range)、空间复杂度O(Range)。

计数排序效率极高，但是不适合于分散的数据，适合集中的数据；同时不适合浮点数、字符串、结构体数据的排序，只适合于整数的排序。

排序总结

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