特征向量（Eigenvector）
特征向量（Eigenvector） 是线性代数中的一个重要概念，与矩阵的特征值（Eigenvalue）密切相关。它在许多数学、物理和机器学习领域中起着关键作用，尤其是在主成分分析（PCA）、奇异值分解（SVD）和网络图分析中。
定义
对于一个 n×n 的矩阵 A，如果存在一个非零向量 v 和一个标量 λ，使得：
其中：
- v 是矩阵 A 的特征向量（Eigenvector）。
- λ 是与特征向量 v 相关联的特征值（Eigenvalue）。
特征向量 v 在矩阵 A 的作用下，方向保持不变，只有大小被特征值 λ 放大或缩小。
性质
- 非零性：特征向量 v 必须是非零向量。
- 方向性：特征向量只定义方向，不定义大小，因此可以进行归一化处理。
- 线性独立性：不同特征值对应的特征向量是线性独立的。
几何解释
特征向量是矩阵 A 的变换下，其方向不改变的向量，而特征值表示变换后向量的伸缩因子。例如，在二维平面上，矩阵的特征向量可以看作是变换保持不变的主要轴。
计算特征向量
-
特征值的求解 ：
根据特征值的定义，有
，其中
解方程
-
特征向量的求解 ：
对于每个特征值 λ，求解
应用
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主成分分析（PCA）
PCA通过计算数据协方差矩阵的特征向量和特征值，找到数据主要变化方向的主成分。
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奇异值分解（SVD）
特征向量用于分解矩阵，为降维、压缩和模式识别提供基础。
-
图分析
在网络图中，特征向量用于评估节点的重要性（如PageRank算法）。
-
量子力学
在量子力学中，特征向量用于描述状态空间中的基矢量。
-
振动分析
特征向量用于描述机械系统振动的模式。
示例
Python 示例：计算矩阵的特征向量
python
import numpy as np
# 定义矩阵
A = np.array([[4, 2],
[1, 3]])
# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)
print("特征值:", eigenvalues)
print("特征向量:\n", eigenvectors)运行结果
Matlab
特征值: [5. 2.]
特征向量:
[[ 0.89442719 -0.70710678]
[ 0.4472136 0.70710678]]总结
特征向量是矩阵变换中保持方向不变的向量，它在许多机器学习算法和物理建模中起着基础性作用。理解特征向量及其性质，是掌握线性代数和机器学习的重要一步。