文章目录
- 前言
- 1、算法效率的目标
- 2、效率评估方法
- 3、迭代与递归
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- 3.1、迭代
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- [3.1.1、for 循环](#3.1.1、for 循环)
- [3.1.2、while 循环](#3.1.2、while 循环)
- 3.1.3、嵌套循环
- 3.2、递归
前言
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内容主要介绍算法效率评估的两个方面：实际测试与理论估算，以及通过渐近复杂度分析来评估算法的时间和空间效率。
1、算法效率的目标
①找到问题解法 ：首先，算法需要在规定的输入范围内可靠地解决问题。
②寻求最优解法：即使问题可以解决，算法的效率仍然是衡量其优劣的重要标准。我们希望找到高效的算法，在有限的时间和空间内解决问题。
③算法效率的评估包括：
①时间效率 ：算法运行所需时间的长短。
②空间效率 ：算法占用的内存空间的大小。
总体目标是设计"既快又省"的算法和数据结构。为了实现这一目标，评估算法的效率至关重要。
2、效率评估方法
主要有两种方式：实际测试与理论估算。
2.1、实际测试
①对比算法 A 和 B ：我们可以在同一台计算机上运行两个算法，记录它们的运行时间和内存使用情况，直观地对比它们的效率。
②局限性 ：
i：硬件环境的影响 ：测试结果受到硬件配置的影响。例如，某些算法在多核 CPU 上可能更高效，而另一些则可能依赖于更强的内存操作能力。
ii：测试环境不一致 ：算法的表现可能在不同的机器或环境中有所不同，因此，进行广泛的测试以获得全面的结果是不现实的。
iii：资源消耗 ：随着输入数据量的增加，算法的效率变化会更加明显，这需要进行大量的测试，耗费大量资源。
由于这些局限性，实际测试并不是一种理想的效率评估方式。
2.2、理论估算（渐近复杂度分析）
渐近复杂度分析（Asymptotic Complexity Analysis），简称复杂度分析，是评估算法效率的一种更为理想的方式。
①核心思想 ：
复杂度分析关注的是时间和空间资源（时间复杂度与空间复杂度）与输入数据大小之间的关系，特别是在数据量很大的情况下，算法的性能表现。
i：时间复杂度 （Time Complexity）：算法执行所需的时间资源。
ii：空间复杂度（Space Complexity）：算法占用的内存空间。
②增长趋势：分析的重点不是算法的具体运行时间或占用空间，而是它们如何随着输入数据量的增加而增长。通过对比不同算法的复杂度，我们可以了解它们在不同数据量下的表现差异。
③复杂度分析的优点：
i：不需要实际运行代码，可以节省资源。
ii：独立于测试环境，分析结果适用于所有平台。
iii：在理论上估算算法在大数据量下的表现，避免了实际测试中的局限性。
④难度与挑战：
复杂度分析是一个数学概念，初学者可能会觉得抽象，学习难度较高。尤其是理解大O符号、渐进时间复杂度等概念时可能会感到困难，但它们在数据结构与算法的分析中非常重要。
2.3、总结
①评估算法效率 的方法有实际测试和理论估算两种，但理论估算（即复杂度分析）更加高效且适用范围更广。
②复杂度分析为我们提供了衡量和对比算法效率的标准，使得我们能够在没有运行算法的情况下，预测它们在大数据量下的表现。
PS：
①初学者在深入学习数据结构与算法时，应对复杂度分析有一定的了解，以便在后续学习中能够进行简单的复杂度分析和算法优化。
3、迭代与递归
在算法中，重复执行某个任务是很常见的，它与复杂度分析息息相关。在介绍时间复杂度和空间复杂度之前，先了解如何在程序中实现重复执行任务，两种基本的程序控制结构：迭代、递归。
虽然从计算角度看，迭代与递归得到相同的结果，但它们代表两种完全不同的思考和解决问题的范式。
①迭代 ："自下而上"地解决问题。从最基础的步骤开始，然后不断重复或累加这些步骤，直到任务完成。
②递归 ："自上而下"地解决问题。将原问题分解为更小的子问题，这些子问题和原问题具有相同的形式。接下来将子问题继续分解为更小的子问题，直到基本情况时停止（基本情况的解是已知的）。
3.1、迭代
迭代（iteration）是一种重复执行某个任务的控制结构。在迭代中，程序会在满足一定的条件下重复执行某段代码，直到这个条件不再满足。
3.1.1、for 循环
for 循环是最常见的迭代形式之一，适合在预先知道迭代次数时使用。
bash
/* for 循环 */
int forLoop(int n) {
int res = 0;
// 循环求和 1, 2, ..., n-1, n
for (int i = 1; i <= n; i++) {
res += i;
}
return res;
}流程图如下：
3.1.2、while 循环
与 for 循环类似，while 循环也是一种实现迭代的方法。在 while 循环中，程序每轮都会先检查条件，如果条件为真，则继续执行，否则就结束循环。
bash
/* while 循环 */
int whileLoop(int n) {
int res = 0;
int i = 1; // 初始化条件变量
// 循环求和 1, 2, ..., n-1, n
while (i <= n) {
res += i;
i++; // 更新条件变量
}
return res;
}while 循环比for循环的自由度更高 。在 while 循环中，自由地设计条件变量的初始化和更新步骤。
例如在以下代码中，条件变量i每轮进行两次更新，这种情况就不太方便用 for 循环实现：
bash
/* while 循环（两次更新） */
int whileLoopII(int n) {
int res = 0;
int i = 1; // 初始化条件变量
// 循环求和 1, 4, 10, ...
while (i <= n) {
res += i;
// 更新条件变量
i++;
i *= 2;
}
return res;3.1.3、嵌套循环
在一个循环结构内嵌套另一个循环结构，以 for 循环为例：
bash
/* 双层 for 循环 */
String nestedForLoop(int n) {
StringBuilder res = new StringBuilder();
// 循环 i = 1, 2, ..., n-1, n
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 循环 j = 1, 2, ..., n-1, n
for (int j = 1; j <= n; j++) {
res.append("(" + i + ", " + j + "), ");
}
}
return res.toString();
}在这种情况下，函数的操作数量与成正比，或者说算法运行时间和输入数据大小 成"平方关系"。继续添加嵌套循环，每一次嵌套都是一次"升维" ，将会使时间复杂度提高至"立方关系""四次方关系"，以此类推。
3.2、递归
递归（recursion）是一种算法策略，通过函数调用自身来解决问题。它主要包含两个阶段。
①递 ：程序不断深入地调用自身，通常传入更小或更简化的参数，直到达到"终止条件"。
②归：触发"终止条件"后，程序从最深层的递归函数开始逐层返回，汇聚每一层的结果。
而从实现的角度看，递归代码主要包含三个要素。
①终止条件 ：决定什么时候由"递"转"归"。
②递归调用 ：对应"递"，函数调用自身，通常输入更小或更简化的参数。
③返回结果：对应"归"，将当前递归层级的结果返回至上一层。
bash
/* 递归 */
int recur(int n) {
// 终止条件
if (n == 1)
return 1;
// 递：递归调用
int res = recur(n - 1);
// 归：返回结果
return n + res;
}
3.2.1、调用栈
①递归函数每次调用自身 ：系统都会为新开启的函数分配内存，以存储局部变量、调用地址和其他信息等。这将导致两方面的结果。
②内存消耗 ：函数的上下文数据都存储在称为"栈帧空间"的内存区域中，直至函数返回后才会被释放。递归通常比迭代更加耗费内存空间。
③实践效率 ：递归调用函数会产生额外的开销。因此递归通常比循环的时间效率更低。
3.2.2、递归树
当处理与"分治"相关的算法问题时，递归往往比迭代的思路更加直观、代码更加易读。以"斐波那契数列"为例。
bash
/* 斐波那契数列：递归 */
int fib(int n) {
// 终止条件 f(1) = 0, f(2) = 1
if (n == 1 || n == 2)
return n - 1;
// 递归调用 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
int res = fib(n - 1) + fib(n - 2);
// 返回结果 f(n)
return res;
}观察以上代码，在函数内递归调用两个函数，从一个调用产生两个调用分支。不断递归调用下去，最终将产生一棵层数为 n的递归树
①本质上 ：递归体现"将问题分解为更小子问题 "的思维范式，分治策略至关重要。
②算法角度 ：搜索、排序、回溯、分治、动态规划等许多重要算法策略直接或间接地应用该思维方式。
③数据结构角度：递归天然适合处理链表、树和图的相关问题，因为它们非常适合用分治思想进行分析。