动态规划：斐波那契形(初阶)

动态规划的常规解题步骤：

状态表示

状态转移方程

初始化

返回值

状态表示

我们写动态规划问题会创建一个名为dp的数组，也就是dp表。

状态表示就是dp表里面的值的含义。那么dp表是根据什么来创建的呢？

1.题目要求
2.经验
3.分析问题的过程中，发现子问题。

状态转移方程

状态转移方程就是dp $i$ 等于什么，类似与数学中的方程表达式，比如dp $i$ =dp $i-1$ +dp $i-2$ +dp $i-3$ ;状态转移方程是动态规划的核心，也是最难点。

初始化

初始化的目的就是保证填dp表的时候不越界。

返回值

根据题目要求和状态转移方程返回符合题意的值

斐波那契型

斐波那契型就是当下的值与前一个或者前几个的值有关，所以状态转移方程经常是dp $i$ =dp $i-1$ +dp $i-2$ +dp $i-3$ 等，或者是类似的变种。

例题

接下来我们以力扣的第1137题为例，来进行具体操作。

题目链接：https://leetcode.cn/problems/n-th-tribonacci-number/description/?envType=study-plan-v2&envId=dynamic-programming

代码：

java 复制代码

class Solution {
    public int tribonacci(int n) {
        //写dp表
        //初始化
        //状态表达式
        //处理边境
        //返回
        if(n==0)return 0;
        if(n==1 || n==2) return 1;
        int[] dp=new int[n+1];
        dp[0]=0;dp[1]=1;dp[2]=1;
        for(int i=3;i<n+1;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3];
        }
        return dp[n];

    }
}

在此题中我们用dp $i$ 来表示第i个数的值，此为状态表示；

紧接着我们结合题意中，发现此题的状态转移方程非常简单，就是

dp $i$ =dp $i-1$ +dp $i-2$ +dp $i-3$ ；

由于出现了dp $i-3$ 所以我们需要初始化前三个数即可。

最终返回dp $n$ 。

拓展题

你学会了吗？接下来用以下这道题来检验一下吧：

题目链接放在这里了

https://leetcode.cn/problems/min-cost-climbing-stairs/description/?envType=study-plan-v2&envId=dynamic-programming

代码放在这里了

java 复制代码

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int n = cost.length;
        if (n == 0)
            return cost[0];
        if (n == 1)
            return Math.min(cost[0], cost[1]);
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = cost[0];
        dp[1] = cost[1];

        for (int i = 2; i < n; i++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i - 2], dp[i - 1]) + cost[i];
        }
        return Math.min(dp[n - 2], dp[n - 1]);
    }

}