基本概念：
1、完全二叉树：若二叉树的深度为h，则除第h层外，其他层的结点全部达到最大值，且第h层的所有结点都集中在左子树。
2、满二叉树：满二叉树是一种特殊的的完全二叉树，所有层的结点都是最大值。
什么是堆？
堆（英语：heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。堆总是满足下列性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆 ，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。常见的堆有二叉堆、斐波那契堆等。
堆中父子节点结构的性质：在二叉树中，若当前节点的下标为 i， 则其父节点的下标为 i/2，其左子节点的下标为 i*2，其右子节点的下标为i*2+1；
堆的插入：
每次插入都是将先将新数据放在数组最后，由于从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的序列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序序列中------这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中。
我们通过一个插入例子来看看插入操作的细节。我们将数字 16 插入到这个堆中：
如图所示，将16插入堆中
堆的数组是：
[ 10, 7, 2, 5, 1 ]。第一步是将新的元素插入到数组的尾部，数组变成：[ 10, 7, 2, 5, 1, 16 ]；
插入后相应的树就变成了：
16被添加最后一行的第一个空位。不行的是，现在堆属性不满足，因为
2在16的上面，我们需要将大的数字在上面（这是一个最大堆）为了恢复堆属性，我们需要交换
16和2。现在还没有完成，因为
10也比16小。我们继续交换我们的插入元素和它的父节点，直到它的父节点比它大或者我们到达树的顶部。这就是所谓的 shift-up，每一次插入操作后都需要进行。它将一个太大或者太小的数字"浮起"到树的顶部。
最后我们得到的堆：
现在每一个父节点都比它的子节点大。
最大堆：
构造最大堆
原始数据为a[] = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7}，采用顺序存储方式，对应的完全二叉树如下图所示：
基本思想：
首先将每个叶子节点视为一个堆，再将每个叶子节点与其父节点一起构造成一个包含更多节点的对。
所以，在构造堆的时候，首先需要找到最后一个节点的父节点 ，从这个节点开始构造最大堆；直到该节点前面所有分支节点都处理完毕，这样最大堆就构造完毕了。
假设树的节点个数为n，以1为下标开始编号，直到n结束。对于节点i，其父节点为i/2；左孩子节点为i*2，右孩子节点为i*2+1。最后一个节点的下标为n，其父节点的下标为n/2。
我们边针对上边数组操作如下图所示，最后一个节点为7，其父节点为16，从16这个节点开始构造最大堆；构造完毕之后，转移到下一个父节点2，直到所有父节点都构造完毕。
堆的构造：
数组，count表示内容大小，maxSize表示最大容量。
堆的判空、返回大小、初始化都很简单，直接返回性质（具体看最后代码）。
入堆：入堆需要判断他的大小，方法是：先将他放在最后面的位置（如图），然后依次和他的父亲比较，只要比父亲大，就交换。
出堆：直接取走顶端元素（arr[1]），然后把最后的元素挪到最前面，然后把它进行下移的操作。最后把数组最后一个元素删掉，并且count - 1就完成了。
具体代码
头文件：
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
#include <stdlib.h>
typedef int HeapDataType;
typedef struct MaxHeap {
HeapDataType* data;
int count;
int MaxSize;
}MH;
//-----------堆的构建等等方法
int size(MH* mh);//返回堆大小
int isEmpty(MH* mh);//判空
void initMaxHeap(MH* mh, int size);//初始化堆
void initMaxHeap2(MH* mh, int size, HeapDataType* arr);//第二种初始化堆,heapify算法
void AdjustUp(MH* mh, int k);//上移元素
void AdjustDown(MH* mh, int k);//下移操作
void insertMaxHeap(MH* mh, HeapDataType value);//插入元素
HeapDataType TopK(MH* mh);//弹出元素
void TestMaxHeap();//测试函数
堆：
#include"heap.h"
//返回堆大小
int size(MH* mh) {
return mh->count;
}
//判空
int isEmpty(MH* mh) {
if (mh->count == 0) {
return 0;
}
else {
return mh->count;
}
}
//下移(构建最大堆)
void AdjustDown(MH* mh, int k)/*k为当前节点的索引*/{
while (k * 2 <= mh->count)//只要当前节点有左孩子
{
int j = k * 2;//记录左孩子节点索引
if (j + 1 <= mh->count && mh->data[j] < mh->data[j + 1])//如果右孩子存在且右孩子比左孩子大
{
j = j + 1;//记录右孩子节点索引
}
if (mh->data[k] > mh->data[j])//如果节点比孩子大
{
break;//不交换，已经是一个最大堆
}
//否则交换k和j
int tmp = mh->data[k];
mh->data[k] = mh->data[j];
mh->data[j] = tmp;
k = j;//移动记录节点到交换后的子孩子节点
}
}
//初始化堆
void initMaxHeap(MH* mh, int size) {
mh->MaxSize = size;//设定堆的最大容量
mh->data = (HeapDataType*)malloc((mh->MaxSize + 1) * sizeof(HeapDataType));//从1开始存储
mh->count = 0;
}
// 上移元素，调整堆中元素的顺序，确保堆的性质（最大堆）
void AdjustUp(MH* mh, int k) {
// 当k不是堆的根节点且当前节点比父节点大时
while (1 < k && mh->data[k / 2] < mh->data[k]) {
// 交换当前节点和其父节点的值
int tmp = mh->data[k / 2]; // 保存父节点的值
mh->data[k / 2] = mh->data[k]; // 将当前节点的值赋给父节点
mh->data[k] = tmp; // 将父节点的值赋给当前节点
// 更新k，移动到父节点的位置，继续检查堆的性质
k /= 2; // 父节点的索引是当前节点索引的一半
}
}
//插入元素
void insertMaxHeap(MH* mh, HeapDataType value) {
//看看有没有满
assert(mh->count + 1 <= mh->MaxSize);
//count为最后一个元素
mh->data[mh->count + 1] = value;
mh->count++;
AdjustUp(mh, mh->count);//上移到合适位置
}
// 弹出堆顶元素，并调整堆，使堆的性质得以保持
HeapDataType TopK(MH* mh) {
// 确保堆中至少有一个元素，防止操作空堆
assert(mh->count > 0);
// 获取堆顶元素（最大值）
HeapDataType res = mh->data[1];
// 将堆中最后一个元素移到堆顶
mh->data[1] = mh->data[mh->count];
// 减少堆中元素的数量，并将最后一个元素置为0
mh->count--;
mh->data[mh->count + 1] = 0;
// 将堆顶元素下移到正确的位置，恢复堆的性质
AdjustDown(mh, 1);
// 返回被弹出的堆顶元素
return res;
}
测试函数：
int main() {
// 创建一个最大堆
MH mh;
initMaxHeap(&mh, 10); // 初始化最大堆，最大容量为10
// 测试插入元素
insertMaxHeap(&mh, 10);
insertMaxHeap(&mh, 20);
insertMaxHeap(&mh, 15);
insertMaxHeap(&mh, 30);
insertMaxHeap(&mh, 5);
printf("堆的大小: %d\n", size(&mh)); // 输出堆的大小
printf("堆是否为空: %d\n", isEmpty(&mh)); // 输出堆是否为空
// 测试弹出堆顶元素
printf("堆顶元素: %d\n", TopK(&mh)); // 弹出堆顶元素并输出
printf("堆的大小: %d\n", size(&mh)); // 输出堆的大小
// 弹出剩余元素
while (isEmpty(&mh)) {
printf("弹出的堆顶元素: %d\n", TopK(&mh));
}
return 0;
}
测试结果：
最小堆的整体操作和最大堆类似，这里不做赘述。