[NOIP2007]矩阵取数游戏

点我写题

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n*m的矩阵，矩阵中的每个元素aij均为非负整数。游戏规则如下：

1.每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。m次后取完矩阵所有元素；

2.每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；

3.每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 * 2 i ，其中i表示第i次取数（从1开始编号）；

4.游戏结束总得分为m次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

示例1

输入

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2 3
1 2 
3 4 2

输出

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思路：容易观察到，每列可以单独考虑，即局部最优解能构成全局最优解，设dp $i$ $t$ $k$ 表示，n*m的矩阵中，第i行元素，到第t轮选元素，前面选了k个的最大值。

转移：考虑当前轮是选前面的还是选后面的，选前面的，就是dp $i$ $t$ $k$ =dp $i$ $t-1$ $k-1$ +a $k$ *(2^t),选后面的dp $i$ $t$ $k$ =dp $i$ $t-1$ $k$ +a $m-(t-k)+1$ *(2^t)（即前面选k个后面就该选了t-k个了）。

ps:这里还硬缝合了个高精度，但是java用BigInteger就能过，java果然是世界上最好的语言，（bushi~）。

纠错:牛客空间比较大三维dp能过，但是洛谷只能俩维，把没用的那维去掉就好了然后加个初始化。

java 复制代码

import java.math.BigInteger;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {

	public static void main(String[] args) {
		Scanner s=new Scanner(System.in);
		int n=s.nextInt(),m=s.nextInt();
		int a[][]=new int [n+10][m+10];
		BigInteger mul[]=new BigInteger [m+10];
		mul[0]=BigInteger.valueOf(1);
		for(int i=1;i<=m;i++) mul[i]=mul[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(2));
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=m;j++) {
				a[i][j]=s.nextInt();
			}
		}
	
		BigInteger ans=BigInteger.valueOf(0);
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			BigInteger res=BigInteger.valueOf(0);
			BigInteger dp[][]=new BigInteger [m+10][m+10];
			for(int j=0;j<=m;j++) {
				for(int k=0;k<=m;k++) {
					dp[j][k]=new BigInteger("0");
				}
			}
			for(int t=1;t<=m;t++) {
				for(int j=0;j<=t;j++) {
				    dp[t][j]=dp[t-1][j].add(BigInteger.valueOf(a[i][m-(t-j)+1]).multiply(mul[t]));
					if(j>0) {
						BigInteger x=dp[t-1][j-1].add(mul[t].multiply(BigInteger.valueOf(a[i][j])));
						if(dp[t][j].compareTo(x)<0) dp[t][j]=x;
					}
					if(res.compareTo(dp[t][j])<0) res=dp[t][j];
				}
			}
			ans=ans.add(res);
		}
		System.out.print(ans+"\n");
	}

}