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基础知识
线段树和树状数组都只是一个工具来的，题目并不会一下子就告诉你这个题目用到线段树和树状数组，这个取决于你想使用的数据结构以及所要优化的方向
线段树和树状数组（也称为二叉索引树）是两种常用的数据结构，主要用于处理数组的区间查询和更新操作。它们的主要区别如下：
适用场景
- 线段树 ：
- 适用于需要复杂区间操作的场景，如区间最大值、区间最小值、区间更新等。
- 适合动态性较强的问题。
python
# 点的更新
class Tree:
def __init__(self,n):
self.st = [0]*(4*n)
def update(self,o,l,r,index,val):
# l,r 是当前区间的范围，index 是要插入的数据的索引
if l==r:
self.st[o] = val
return
mid = (l+r)//2
if index<=mid:
self.update(2*o,l,mid,index,val)
else:
self.update(2*o+1,mid+1,r,index,val)
self.st[o] = max(self.st[2*o],self.st[2*o+1])
def query(self,o,l,r,L,R):
if l >= L and r <= R:
return self.st[o]
mid = (l+r)//2
res = 0
if L<=mid:
res = max(res,self.query(2*o,l,mid,L,R))
if R > mid:
res = max(res,self.query(2*o+1,mid+1,r,L,R))
return res- 树状数组 ：
- 适用于简单的前缀和查询和单点更新问题。
- 适合静态或半静态问题，且代码实现更简洁。
小结
| 特性 | 线段树 | 树状数组 |
|---|---|---|
| 结构 | 二叉树 | 基于数组的树形结构 |
| 功能 | 支持复杂区间操作 | 主要用于前缀和查询 |
| 时间复杂度 | ( O ( log n ) (O(\log n) (O(logn)) | ( O ( log n ) ) (O(\log n)) (O(logn)) |
| 空间复杂度 | ( O ( 4 n ) (O(4n) (O(4n)) | ( O ( n ) ) (O(n)) (O(n)) |
| 适用场景 | 动态区间操作 | 简单查询和更新 |
题目概述
题目详解
300.最长递增子序列
这个题目是方便我们做下面的
最长递增子序列
思路分析：这个最长递增子序列，我们采用动态规划进行求解，
dp[i]的定义：以nums[i]为结尾的子序列的最长的长度有递推公式：
d p i = m a x ( d p i , d p j + 1 ) dpi = max(dpi,dpj+1) dpi=max(dpi,dpj+1),当我们遍历前 i − 1 i-1 i−1个元素，当满足 n u m s j < = n u m s i numsj<=numsi numsj<=numsi的时候更新
时间复杂度分析：是o(n^2)
2407.最长递增子序列 II
思路分析：这个题目首先想到可以使用动态规划，但是如果内层的的判断i之前的满足的情况的时候还是使用暴力进行求解的话，就会出现超时的情况，所以我们就得考虑使用线段树，线段树对于求解区间的最值的时间复杂度只有o(logn)
python
class Solution:
def lengthOfLIS(self, nums: List[int], k: int) -> int:
ans = 1
# dp[i][j] 表示前i个元素中，以值j结尾的长度的子序列长度的最大值
# 注意，这里的j是值域
tr = Tree(100005)
# 这个求解的是外层循环i
for va in nums:
if va != 1:
# 确保这个zuo没有超过范围
zuo = max(1,va-k)
you = va-1
# 1为根节点
# 这个是求解的内层循环j
pre = tr.query(1,1,100000,zuo,you)
now = pre+1
ans = max(ans,now)
tr.update(1,1,100000,va,now)
else:
tr.update(1,1,100000,1,1)
return ans
# 线段树模版
class Tree:
def __init__(self,n):
self.t = [0] * (n*4)
def update(self,o,l,r,index,va):
if l==r:
self.t[o] = va
return
m = (l+r) //2
if index<=m:
self.update(o*2,l,m,index,va)
else:
self.update(o*2+1,m+1,r,index,va)
self.t[o] = max(self.t[o*2],self.t[o*2+1])
def query(self,o,l,r,L,R):
if l>=L and r<= R:
return self.t[o]
m = (l+r) // 2
res = 0
if m >= L:
res = max(res,self.query(o*2,l,m,L,R))
if R>m:
res = max(res,self.query(o*2+1,m+1,r,L,R))
return res