1221. 四平方和
问题描述
四平方和定理，又称为拉格朗日定理：每个正整数都可以表示为至多 4 个正整数的平方和。如果把 0 包括进去，就正好可以表示为 4 个数的平方和。
例如：
- (5 = 0^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2)
- (7 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2)
对于一个给定的正整数，可能存在多种平方和的表示法。要求对 4 个数排序，满足 (0 \leq a \leq b \leq c \leq d)，并对所有的可能表示法按 (a)、(b)、(c)、(d) 为联合主键升序排列，最后输出第一个表示法。
输入格式
输入一个正整数 (N)。
输出格式
输出 4 个非负整数，按从小到大排序，中间用空格分开。
数据范围
(0 < N < 5\times10^6)
输入输出样例
输入样例
5
输出样例
0 0 1 2
问题思路
问题代码
暴力做法如下
cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(){
int n;
cin>>n;//得到我们要计算的数字
//题目要求我们以字典序输出，那么我们从a开始到d进行for循环
for(int a=0;a*a<=n;a++){
for(int b=a;a*a+b*b<=n;b++){
for(int c=b;a*a+b*b+c*c<=n;c++){
int t=n-a*a-b*b-c*c;
int d=sqrt(t);//注意这个地方必须是int d，如果是提前定义的int的话，比如d=sqrt(t)
//那么这个时候，就会出现问题
if(d*d==t){
printf("%d %d %d %d\n",a,b,c,d);
return 0;
}
}
}
}
}二分做法
//由于题目要求最终的输出结果满足字典序，所以我们采用以下的方法
//首先要计算出c和d的值，并将这些值（c，d，c*c+d+d）保存下来，并通过某种手段，将保存下来的数据，按照c*c+d*d的大小排列
//随后计算a和b的值，通过与n值相减，从而得到应有的c*c+d*d的值
//之后，经过二分的处理，更快的得到c和d
cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=5e6+10;
struct sum{
int s,c,d;
bool operator< (const sum &t)const{
if (s!=t.s) return s<t.s;//这里的条件只能是不等于，这样写的目的就是为了简化代码
if(c!=t.c) return c<t.c;
return d<t.d;
}
}su[N];
int m;//记录保存下来有多少个c和d组合
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int c=0;c*c<=n;c++){
for(int d=c;c*c+d*d<=n;d++){
//计算出所有结果，保存
su[m++]={c*c+d*d,c,d};
}
}
sort(su,su+m);
//接下来进行c和d的枚举
for(int a=0;a*a<=n;a++){
for(int b=0;b*b+a*a<=n;b++){
int t=n-a*a-b*b;//对于二分，这个t就是我要查找的x值
int l=0,r=m-1;
while(l<r){
int mid=l+r>>1;
if(su[mid].s>=t) r=mid;
else l=mid+1;
}
if(su[l].s==t) {
printf("%d %d %d %d",a,b,su[l].c,su[l].d);
return 0;
}
}
}
return 0;
}哈希表
//哈希表的方法，是在二分的基础上再进行修改，在二分的解决方法中，我们创建了一个struct sum 结构体
//而在这里我们通过使用unorderer_map中的结构，便不再需要创建结构体了
//并且也不在需要对结果相同的c和d进行保存，只需要保存遍历到的第一个
//不在需要对保存过来的进行计数，因为，不需要再进行手动排序
//由于哈希表是字典的结构，所以我们让key值为c*c+d*d，另外创建一个pair结构，用来保存c和d
cpp
//哈希表做法
#include<iostream>
#include <cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include <unordered_map>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
unordered_map<int,PII> S;
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int c=0;c*c<=n;c++){
for(int d=c;c*c+d*d<=n;d++){
int t=c*c+d*d;
if(S.count(t)==0) S[t]={c,d};
}
}
for(int a=0;a<=n;a++)
for(int b=a;b<=n;b++){
int t=n-a*a-b*b;
if(S.count(t)){
printf("%d %d %d %d",a,b,S[t].x,S[t].y);
return 0;
}
}
return 0;
}1227. 分巧克力
问题描述
儿童节那天有 K K K 位小朋友到小明家做客，小明拿出珍藏的 N N N 块巧克力招待他们。其中第 i i i 块巧克力是 H i × W i H_i\times W_i Hi×Wi 的方格组成的长方形。
为公平起见，小明要从这 N N N 块巧克力中切出 K K K 块形状为正方形、边长为整数且大小相同的巧克力分给小朋友们。
例如，一块 6 × 5 6\times5 6×5 的巧克力可以切出 6 6 6 块 2 × 2 2\times2 2×2 的巧克力或者 2 2 2 块 3 × 3 3\times3 3×3 的巧克力。
小朋友们希望得到的巧克力尽可能大，需要计算出能切出的正方形巧克力的最大边长。
输入格式
- 第一行包含两个整数 N N N 和 K K K。
- 以下 N N N 行每行包含两个整数 H i H_i Hi 和 W i W_i Wi。
输入保证每位小朋友至少能获得一块 1 × 1 1\times1 1×1 的巧克力。
输出格式
输出切出的正方形巧克力最大可能的边长。
数据范围
- 1 ≤ N , K ≤ 1 0 5 1\leq N,K\leq10^5 1≤N,K≤105
- 1 ≤ H i , W i ≤ 1 0 5 1\leq H_i,W_i\leq10^5 1≤Hi,Wi≤105
输入输出样例
输入样例
2 10
6 5
5 6
输出样例
2
问题思路
问题代码
cpp
#include<iostream>
#include <cstdio>
#include<cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int H[N],W[N];
int n,k;
//最后至少要有k块巧克力
int check(int mid){
int res=0;//局部变量必须赋值
for(int i=0;i<n;i++){
res+=(W[i]/mid)*(H[i]/mid);//结果是最后能得到的分割后巧克力数量
}
return res;
}
int main(){
cin>>n>>k;
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d %d",&H[i],&W[i]);
//完成输入
int l=1,r=1e5;
while(l<r){
int mid=l+r+1>>1;
if(check(mid)>=k){
//check函数的结果是返回当前能够切割出巧克力的数量
//说明此时，巧克力的大小还可以扩大
l=mid;
}
else r=mid-1;
}
cout<<r<<endl;
return 0;
}795. 前缀和
问题描述
输入一个长度为 n 的整数序列。接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l, r。对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
第二行包含 n 个整数，表示整数数列。
接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。
输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
- (1\leq l\leq r\leq n)
- (1\leq n,m\leq 100000)
- (-1000\leq) 数列中元素的值 (\leq 1000)
输入样例
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例
3
6
10
cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int a[N],s[N];
int main(){
int n,m;
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
s[i]=s[i-1]+a[i];
}
while(m--){
int a,b;
cin>>a>>b;
cout<<s[b]-s[a-1]<<endl;
}
return 0;
}796. 子矩阵的和
子矩阵和查询问题
问题描述
输入一个n行m列的整数矩阵，再输入q个询问，每个询问包含四个整数x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。
输入格式
- 第一行包含三个整数
n，m，q。 - 接下来
n行，每行包含m个整数，表示整数矩阵。 - 接下来
q行，每行包含四个整数x1,y1,x2,y2，表示一组询问。
输出格式
共q行，每行输出一个询问的结果。
数据范围
1≤n,m≤10001≤q≤2000001≤x1≤x2≤n1≤y1≤y2≤m-1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例
17
27
21
题目思路
题目代码
cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int a[N][N],s[N][N];
int main(){
int x1,y1,x2,y2,n,m,q;
scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%d",&a[i][j]);
s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
}//完成前缀和的模板
while(q--){
//随后根据题目所给的x1x2x3x4进行计算
cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);
}
return 0;
}99. 激光炸弹
题目描述
地图上有 N N N 个目标点，用整数 X i , Y i X_i,Y_i Xi,Yi 表示目标在地图上的位置，每个目标都有一个价值 W i W_i Wi。
注意：不同目标可能在同一位置。
现在有一种新型的激光炸弹，可以摧毁一个包含 R × R R×R R×R 个位置的正方形内的所有目标。
激光炸弹的投放是通过卫星定位的，但其有一个缺点，就是其爆炸范围，即那个正方形的边必须和 x x x， y y y 轴平行。
求一颗炸弹最多能炸掉地图上总价值为多少的目标。
输入格式
第一行输入正整数 N N N 和 R R R，分别代表地图上的目标数目和正方形包含的横纵位置数量，数据用空格隔开。
接下来 N N N 行，每行输入一组数据，每组数据包括三个整数 X i , Y i , W i X_i,Y_i,W_i Xi,Yi,Wi，分别代表目标的 x x x 坐标， y y y 坐标和价值，数据用空格隔开。
输出格式
输出一个正整数，代表一颗炸弹最多能炸掉地图上目标的总价值数目。
数据范围
- 0 ≤ R ≤ 1 0 9 0\leq R\leq10^9 0≤R≤109
- 0 < N ≤ 10000 0<N\leq10000 0<N≤10000
- 0 ≤ X i , Y i ≤ 5000 0\leq X_i,Y_i\leq5000 0≤Xi,Yi≤5000
- 0 ≤ W i ≤ 1000 0\leq W_i\leq1000 0≤Wi≤1000
输入样例
2 1
0 0 1
1 1 1
输出样例
1
题目代码
cpp
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=5e3+10;
int s[N][N];
int main(){
int n,r;
cin>>n>>r;
r=min(r,5001);
int x_max=r,y_max=r;
while(n--){
int x,y,w;
scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);
x++,y++;
s[x][y]+=w;
x_max=max(x_max,x),y_max=max(y_max,y);
}
//完成所有的输入，之后再遍历一遍，计算出来前缀和的模板
for (int i = 1; i <= x_max; i ++ )
for (int j = 1; j <= y_max; j ++ )
s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];
int res=0;
for(int i=r;i<=x_max;i++){
for(int j=r;j<=y_max;j++){
res = max(res, s[i][j] - s[i - r][j] - s[i][j - r] + s[i - r][j - r]);
}
}
cout<<res;
return 0;
}