数据结构：哈夫曼树

1.概念

哈夫曼树（Huffman Tree）是一种用于数据压缩的二叉树，由大卫·哈夫曼（David A. Huffman）于1952年提出。它通过构建最优二叉树来实现数据的高效压缩，广泛应用于文件压缩、图像压缩等领域。

哈夫曼树的核心思想

哈夫曼树的核心思想是用较短的编码表示出现频率较高的字符，用较长的编码表示出现频率较低的字符，从而减少整体的编码长度。

2.构建哈夫曼树的步骤

1. 统计字符频率：

   • 统计待压缩数据中每个字符出现的频率。

2. 创建节点：

   • 为每个字符创建一个节点，节点的权重为字符的频率。

3. 构建优先队列：

   • 将所有节点放入一个优先队列（最小堆），按权重从小到大排序。

4. 合并节点：

   • 从优先队列中取出权重最小的两个节点，合并成一个新节点，新节点的权重为这两个节点的权重之和。

   • 将新节点放回优先队列。

5. 重复合并：

   • 重复上述步骤，直到优先队列中只剩一个节点，这个节点就是哈夫曼树的根节点。

6. 生成编码：

   • 从根节点开始，向左子树走标记为0，向右子树走标记为1，直到叶子节点，得到每个字符的哈夫曼编码。

3.哈夫曼树的特点

• 最优前缀编码：哈夫曼编码是一种前缀编码，没有任何一个编码是另一个编码的前缀。

• 最小加权路径长度：哈夫曼树的带权路径长度（WPL）最小，即压缩效率最高。

示例

假设有以下字符及其频率：

• A: 5

• B: 9

• C: 12

• D: 13

• E: 16

• F: 45

构建哈夫曼树的过程：

1. 将所有字符节点放入优先队列。

2. 取出A(5)和B(9)，合并为新节点(14)，放回队列。

3. 取出C(12)和D(13)，合并为新节点(25)，放回队列。

4. 取出E(16)和新节点(14)，合并为新节点(30)，放回队列。

5. 取出新节点(25)和F(45)，合并为新节点(70)，放回队列。

6. 取出新节点(30)和新节点(70)，合并为根节点(100)。

根据哈夫曼树的构建规则和正确的路径长度过程：

        (100)
       /     \
    (30)    (70)
   /   \    /   \
(14)  E(16) (25) F(45)
 /  \      /  \
A(5) B(9) C(12) D(13)

路径长度：

1. A ：根 → 30 → 14 → A，路径长度 3。

2. B ：根 → 30 → 14 → B，路径长度 3。

3. C ：根 → 70 → 25 → C，路径长度 3。

4. D ：根 → 70 → 25 → D，路径长度 3。

5. E ：根 → 30 → E，路径长度 2。

6. F ：根 → 70 → F，路径长度 2。

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计算 WPL

字符	权重（频率）	路径长度	权重 × 路径长度
A	5	3	5×3=15
B	9	3	9×3=27
C	12	3	12×3=36
D	13	3	13×3=39
E	16	2	16×2=32
F	45	2	45×2=90

WPL 总和：

15+27+36+39+32+90=239

总结

路径长度是哈夫曼树中一个重要的概念，它直接决定了每个字符的编码长度。通过最小化带权路径长度（WPL），哈夫曼树能够实现数据的高效压缩。