图论- 经典最小生成树算法

最小生成树算法

什么是最小生成树

在图中找一棵包含图中所有节点的树, 且权重和最小的那棵树就叫最小生成树.

如下:右侧生成树的权重和显然比左侧生成树的权重和要小。(但是它并不是最小的,这里只是比较一下不同的树)

Kruskal算法

最小生成树是若干条边的集合(称为mst)

最小生成树中我们需要保证几点:

  • 包含图中所有节点
  • 形成的结构是树结构(不存在环)
  • 权重和最小
    前面两条很容易利用并查集算法做到
    最后一条这里使用了贪心算法的思想:
    将所有边按照权重从小到大排序,从权重最小的边开始遍历,如果这条边和mst中其他边不形成边,则称为mst的一部分,否则不加入.

关键代码实现

想学好这个算法有两个关键的点:

  1. 熟悉掌握并查集算法,对于判定是否成环和连通分量如何计算要熟悉
  2. 清楚贪心思想和最后如何累积权重并返回.
java 复制代码

Prim 最小生成树算法

它也是使用贪心思想来让生成树的权重尽可能小,它采用切分的方式去处理.

简单来说呢就是从一个节点开始,看这个节点有几条路径,然后选一条最短.

走到下一个节点的时候,同时考虑之前的节点的路径,然后选一条最短的,然后循环这样.

举例:

这里虽然是在B节点,但是也要考虑A节点的情况.

Prim 算法的逻辑就是这样,每次切分都能找到最小生成树的一条边,然后又可以进行新一轮切分,直到找到最小生成树的所有边为止。

那代码如何实现呢?

我们如何计算横切边有哪些,比如是否可以快速算出 cut({A, B, C}),也就是节点 A, B, C 的所有「横切边」有哪些?

是可以的,因为我们发现:
cut({A, B, C}) = cut({A, B}) + cut({C})

这个特点使我们用我们写代码实现「切分」和处理「横切边」成为可能:

在进行切分的过程中,我们只要不断把新节点的邻边加入横切边集合,就可以得到新的切分的所有横切边。

当然,细心的你肯定发现了,cut({A, B}) 的横切边和 cut({C}) 的横切边中 BC 边重复了。

不过这很好处理,用一个布尔数组 inMST 辅助,防止重复计算横切边就行了。

最后一个问题,我们求横切边的目的是找权重最小的横切边,怎么做到呢?

很简单,用一个

优先级队列 存储这些横切边,就可以动态计算权重最小的横切边了。

所以采用inMST和优先级队列可以帮助我们实现这个算法.

实现如下:

java 复制代码
class Prim {
    // 核心数据结构,存储「横切边」的优先级队列
    private PriorityQueue<int[]> pq;
    // 类似 visited 数组的作用,记录哪些节点已经成为最小生成树的一部分
    private boolean[] inMST;
    // 记录最小生成树的权重和
    private int weightSum = 0;
    // graph 是用邻接表表示的一幅图,
    // graph[s] 记录节点 s 所有相邻的边,
    // 三元组 int[]{from, to, weight} 表示一条边
    private List<int[]>[] graph;

    public Prim(List<int[]>[] graph) {
        this.graph = graph;
        this.pq = new PriorityQueue<>((a, b) -> {
            // 按照边的权重从小到大排序
            return a[2] - b[2];
        });
        // 图中有 n 个节点
        int n = graph.length;
        this.inMST = new boolean[n];

        // 随便从一个点开始切分都可以,我们不妨从节点 0 开始
        inMST[0] = true;
        cut(0);
        // 不断进行切分,向最小生成树中添加边
        while (!pq.isEmpty()) {
            int[] edge = pq.poll();
            int to = edge[1];
            int weight = edge[2];
            if (inMST[to]) {
                // 节点 to 已经在最小生成树中,跳过
                // 否则这条边会产生环
                continue;
            }
            // 将边 edge 加入最小生成树
            weightSum += weight;
            inMST[to] = true;
            // 节点 to 加入后,进行新一轮切分,会产生更多横切边
            cut(to);
        }
    }

    // 将 s 的横切边加入优先队列
    private void cut(int s) {
        // 遍历 s 的邻边
        for (int[] edge : graph[s]) {
            int to = edge[1];
            if (inMST[to]) {
                // 相邻接点 to 已经在最小生成树中,跳过
                // 否则这条边会产生环
                continue;
            }
            // 加入横切边队列
            pq.offer(edge);
        }
    }

    // 最小生成树的权重和
    public int weightSum() {
        return weightSum;
    }

    // 判断最小生成树是否包含图中的所有节点
    public boolean allConnected() {
        for (int i = 0; i < inMST.length; i++) {
            if (!inMST[i]) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

Kruskal 和 Prim 算法的区别

特点 Kruskal算法 Prim算法
处理方式 从边出发,选择最小的边加入生成树 从一个节点出发,逐步扩展生成树
适用图的类型 适合稀疏图 适合稠密图
数据结构 使用并查集来检测环,处理边集合 使用优先队列(最小堆)来选择最小边
时间复杂度 (O(E \log E)) (O(E \log V))
边的处理方式 对所有边进行排序 按节点扩展,逐步选择最小边
图的表示方式 边列表 邻接矩阵或邻接表

为什么Prim算法不需要判断成环,但Kruskal需要

Kruskal算法需要检查是否会成环,因为它是从全局边集合出发逐步加入边,需要判断两个节点是否已经连通。

Prim算法不需要显式检查环,因为它是从节点逐步扩展生成树的过程,保证了每次连接的边都是新增的,不会成环。

相关推荐
牛客企业服务36 分钟前
2025年AI面试推荐榜单,数字化招聘转型优选
人工智能·python·算法·面试·职场和发展·金融·求职招聘
糖葫芦君1 小时前
Policy Gradient【强化学习的数学原理】
算法
向阳@向远方3 小时前
第二章 简单程序设计
开发语言·c++·算法
github_czy4 小时前
RRF (Reciprocal Rank Fusion) 排序算法详解
算法·排序算法
许愿与你永世安宁4 小时前
力扣343 整数拆分
数据结构·算法·leetcode
爱coding的橙子4 小时前
每日算法刷题Day42 7.5:leetcode前缀和3道题,用时2h
算法·leetcode·职场和发展
满分观察网友z5 小时前
从一次手滑,我洞悉了用户输入的所有可能性(3330. 找到初始输入字符串 I)
算法
YuTaoShao5 小时前
【LeetCode 热题 100】73. 矩阵置零——(解法二)空间复杂度 O(1)
java·算法·leetcode·矩阵
Heartoxx5 小时前
c语言-指针(数组)练习2
c语言·数据结构·算法
大熊背6 小时前
图像处理专业书籍以及网络资源总结
人工智能·算法·microsoft