【算法与数据结构】并查集详解+题目

一，什么是并查集

二，并查集的结构

三，并查集的代码实现

1，并查集的大致结构和初始化

一，什么是并查集

核心概念：并查集是一种用于管理元素分组的数据结构。

在一些应用问题中，需将n个不同的元素划分成一些不相交的集合，开始时，n个元素各自成一个集合，然后按照一定规律将部分集合合成一个集合 ，也就是集合合并 。**并查集（union-find)**适合来描述这类问题。

对于并查集，我们可以将它看成是一个森林，森林是由多棵树组成的，并查集中的一个个集合就可以看作是树。

示例：

二，并查集的结构

并查集的存储结构和树的双亲表示法相似。

所谓双亲表示法，就是在树的节点中，只存储父节点的指针，不存储孩子节点的指针。通过指针可以找到父节点。++因为对于一颗树来说，可能有多个孩子，但只有一个父节点。++

对于上图中：

节点0的数组值为-4，说明该节点为根节点。

节点6的数组值为0，说明该节点的父节点为0。

节点7的数组值为0，说明该节点的父节点为0。

节点8的数组值为0，说明该节点的父节点为0。

三，并查集的代码实现

并查集主要支持一下操作：

查询（find），查询一个元素在哪个集合中。
合并（union)，将两个集合合并为一个。

1，并查集的大致结构和初始化

class UnionFind
{
public:
UnionFind(size_t n)
:_ufs(n,-1)
{}

//......
private:
vector<int> _ufs;
};

2，find操作

在并查集中找到包含x的根

int findRoot(int x)
{
int root = x;

while (_ufs[root] >= 0)
root = _ufs[root];

return root;
}

3，Union操作

合并两个集合

void Union(int x1, int x2)
{
int root1 = findRoot(x1);
int root2 = findRoot(x2);
if (root1 == root2)
return; //在同一个集合中

//这里在合并的时候采用数据量小的向数据量大的合并
//也就是小树向大树合并
if (abs(_ufs[root1]) < abs(_ufs[root2]))//root1节点更少
{
_ufs[root2] += _ufs[root1];
_ufs[root1] = root2; //小树合并到大树
}
else
{
//root2节点更少
_ufs[root1] += _ufs[root2];
_ufs[root2] = root1;
}
}

4，优化

当树比较高时，我们在反复查某个节点的根节点时，每次都会花费大量时间。

优化方法：路径压缩，只要查找某个节点一次，就将查找路径上的所有节点挂到根节点下面。

如图：查找D的根A，查找路径上包含节点B，将节点D和节点B直接挂在根节点A的下面。

//路径压缩
int findRoot(int x)
{
    int root = x;

    while (_ufs[root] >= 0)
        root = _ufs[root];

    //路径压缩
    while (_ufs[x] >= 0)
    {
        int parent = _ufs[x];
        _ufs[x] = root;   //挂在根节点的下面
        x = parent;
    }

    return root;
}

小结：

上述实现的并查集，支持连续元素。如果是处理非连续元素，需要使用哈希表代替数组（需额处理元素与索引的映射）。

核心思路：

哈希映射 ：用unordered_map将任意类型元素映射为连续整数ID，内部用数组管理父节点

动态扩容：自动添加新元素，无需预先指定规模。

模板化：支持泛型数据类型（如string等）。

四，并查集的应用场景

连通性检测：判断网络中两个节点是否连通。

最小生成树（Kruskal算法）：动态合并边，避免环。

社交网络分组：快速合并好友关系，查询是否属于同一社交圈。

总结：

++并查集通过高效的查找与合并操作，成为处理动态连通性问题的核心数据结构。其优化方法（路径压缩、按秩合并）确保了接近常数的单次操作时间复杂度，适用于大规模数据场景。++

++其中的按秩合并就是合并集合时小树向大树合并。++

省份数量[OJ题]

题目链接：LCR 116. 省份数量 - 力扣（LeetCode）

isConnected[i][j]=1，表示城市i和j连通，连通的城市为一个省份。用并查集将连通的数据放入一个集合，再统计最后的集合个数即可。

class Solution {
public:
    int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
        int n=isConnected.size();
        vector<int> _ufs(n,-1);
        
        //查找根
        auto find=[&](int x)->int
        {
            int root=x;
            while(_ufs[root]>=0)
            root=_ufs[root];

            return root;
        };

        for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(isConnected[i][j]==1)
            {
                //合并i和j集合
                int rooti=find(i),rootj=find(j);
                if(rooti!=rootj)
                {
                    _ufs[rooti]+=_ufs[rootj];
                    _ufs[rootj]=rooti;
                }
            }
        }
        //统计集合数
        int ret=0;
        for(auto x:_ufs)
        {
            if(x<0)
            ret++;
        }

        return ret;
    }
};

冗余连接[OJ题]

题目链接：684. 冗余连接 - 力扣（LeetCode）

class Solution {
public:
    vector<int> findRedundantConnection(vector<vector<int>>& edges) {
        //遍历edges数组
        //将在同一条边中的两个顶点放入一个集合
        //如果这条边的两个顶点已经在同一个集合中，加入这条边后，会出现环 ，返回这条边
        vector<int> ufs(1010);
        int sz=edges.size();
        //初始化时各元素自成一个集合，自己就是根
        for(int i=0;i<sz;i++)
        ufs[i]=i;
        
        for(int j=0;j<sz;j++)
        {
            //找到边的两个顶点所在的集合，也就是根节点
            int root1=find(edges[j][0],ufs);
            int root2=find(edges[j][1],ufs);
            //如果在一个集合，加入这条边后，会出现环
            if(root1==root2)
            return edges[j];
            else
            {
                //两个集合独立，合并两个集合
                ufs[root1]=root2;
            }
        }
        return {0,0};
    }
    int find(int num,vector<int>& ufs)
    {
        int root=num;
        while(ufs[root]!=root)
        root=ufs[root];
        return root;
    }
};

等式方程的可满足性[OJ题]

本题链接：990. 等式方程的可满足性 - 力扣（LeetCode）

class Solution {
public:
    bool equationsPossible(vector<string>& equations) {
        //并查集
        vector<int> ufs(26,-1);
        auto findroot=[&](int x)
        {
            int parent=x;
            while(ufs[parent]>=0)
            parent=ufs[parent];
            return parent;
        };

        //将相等的放入同一集合中
        for(auto& str:equations)
            if(str[1]=='=')
            {
                int root1=findroot(str[0]-'a');
                int root2=findroot(str[3]-'a');
                 if(root1!=root2)
                 {
                    ufs[root1]+=ufs[root2];
                    ufs[root2]=root1;
                 }
            }
        //遇到！，如果在同一个集合，返回false
        for(auto& str:equations)
        {
            if(str[1]=='!')
            {
                int root1=findroot(str[0]-'a');
                int root2=findroot(str[3]-'a');
                if(root1==root2)
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
};