稠密图，使用朴素的Dijkstra算法，其中稠密图的定义是，边的数量级与 o ( n 2 ) o(n^2) o(n2)相当的图，朴素的Dijkstra算法的时间复杂度是 o ( n 2 ) o(n^2) o(n2),其中n是图的节点的数量
稀疏图，使用堆优化的Dijkstra算法，算法的时间复杂度是 o ( m l o g m ) o(mlogm) o(mlogm)其中，m是边的数量，如果输入的稠密图，那么使用堆优化的Dijkstra算法的时间复杂度是 o ( n 2 l o g n ) o(n^2logn) o(n2logn)
朴素的Dijkstras算法的模版
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# 存储边的情况
edge = [[float('inf')]*n for n in range(n)]
# dis[i]表示 单源点k到其余节点i的最短的路径
dis = [float('inf')]*n
dis[k] = 0
# 这个done[k] = True不用设置，后面会依据这个，把起点弹出
done = [False]*n # done[i]标记是否找到 到达节点i的最短的路径
while True:
x = -1
for i,ok in enumerate(done):
# 找到在还没确定最小距离的节点，该节点到源点的距离最小
if not ok and (x < 0 or dis[i] < dis[x]):
x = i
# 判断是否都找到了
if x < 0:
# 这里就已经求解完成了，后续你可以返回最大值？
return dis
# 有节点无法到达
if dis[x] == float('inf'):
return -1
# 设置标志位，表示节点x的最小距离已经确定
done[x] = True
# 遍历当前节点的所有的邻居，更新答案
for j,d in enumerate(edge[x]):
dis[j] = min(dis[j],dis[j]+d)
使用堆优化的Dijkstra算法
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import heapq
class Solution:
def networkDelayTime(self, times: List[List[int]], n: int, k: int) -> int:
# 使用堆优化的Dijkstra算法
# 使用堆优化的话，适用于稀疏图，所以边的记录，我们使用邻接表
edge = [[] for _ in range(n)]
for x,y,z in times:
edge[x-1].append((y-1,z))
dis = [float('inf')]*n
dis[k-1] = 0
# 入堆的元素是 (dis[x],x)，第一个元素是距离，这也是设置的优先级
h = [(0,k-1)]
while h:
# 出堆
dx,x = heapq.heappop(h)
# 如果当前的距离大于最小距离，直接过
if dx > dis[x]:
# 说明之前出过堆
continue
# 访问邻居，不一定是这个邻接表或者邻接矩阵，二维表也可以
for y,d in edge[x]:
# 计算更新值，计算方式按照题目的意思
new_dis = dx + d
# 只有更优的值才能被加入进去
if new_dis < dis[y]:
dis[y] = new_dis
heapq.heappush(h,(new_dis,y))
mx = max(dis)
return mx if mx < float('inf') else -1
class Solution:
def networkDelayTime(self, times: List[List[int]], n: int, k: int) -> int:
# 区别于BFS求解的最短距离，这个距离的边的权值不一样
# 使用朴素的迪斯科特拉算法
# 邻接矩阵记录边的情况
edge = [[float('inf')]*(n) for _ in range(n)]
# 有向边
for e in times:
edge[e[0]-1][e[1]-1] = e[2]
dis = [float('inf')]*n # 记录k到各个节点的最短距离
ans = dis[k-1] = 0
done = [False] * n # 记录节点的最短距离是否被确定
while True:
x = -1
# 找到最短距离还没确定，并且节点k到它的距离是最短的节点
for i,ok in enumerate(done):
if not ok and (x<0 or dis[i] < dis[x]):
x = i
# 如果x<0,表示全部的节点已经全部都访问过了
if x < 0 :
return ans
# 如果最短的节点的距离是无穷，说明不可达
if dis[x] == float('inf'):
return -1
# 更新
ans = dis[x]
done[x] = True
for y,d in enumerate(edge[x]):
dis[y] = min(dis[y],dis[x]+d)
使用堆优化的解法
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import heapq
class Solution:
def networkDelayTime(self, times: List[List[int]], n: int, k: int) -> int:
# 使用堆优化的Dijkstra算法
# 使用堆优化的话，适用于稀疏图，所以边的记录，我们使用邻接表
edge = [[] for _ in range(n)]
for x,y,z in times:
edge[x-1].append((y-1,z))
dis = [float('inf')]*n
dis[k-1] = 0
# 入堆的元素是 (dis[x],x)
h = [(0,k-1)]
while h:
dx,x = heapq.heappop(h)
if dx > dis[x]:
# 说明之前出过堆
continue
for y,d in edge[x]:
new_dis = dx + d
if new_dis < dis[y]:
dis[y] = new_dis
heapq.heappush(h,(new_dis,y))
mx = max(dis)
return mx if mx < float('inf') else -1
# 动态规划的做法，竟然可以过700个测试用例
import heapq
class Solution:
def minTimeToReach(self, moveTime: List[List[int]]) -> int:
# 开始的时候从(0,0)出发，移动到相邻的房间，其实也只是向下或向右运动
# 感觉可以用动态规划，dp[i][j]表示到达i,j所需的最少的时间
# 递推公式，
# dp[i][j] = min(max(dp[i-1][j],moveTime[i][j])+1,max(dp[i][j-1],moveTime[i][j])+1)
n = len(moveTime)
m = len(moveTime[0])
dp = [[float('inf')]*(m+1) for _ in range(n+1)]
dp[1][1] = 0
for i in range(n):
for j in range(m):
if i == 0 and j == 0:
continue
dp[i+1][j+1] = min(max(dp[i][j+1],moveTime[i][j])+1,max(dp[i+1][j],moveTime[i][j])+1)
for i in dp:
print(i )
return dp[n][m]
import heapq
class Solution:
def minTimeToReach(self, moveTime: List[List[int]]) -> int:
# 首先先使用 堆优化的Dijkstra进行解题
# 图已经构建，就是moveTime
# dis[i][j]表示(0,0)到(i,j)的最短的时间
n,m = len(moveTime),len(moveTime[0])
dis = [[float('inf')]*m for _ in range(n)]
dis[0][0] = 0
done = [[False]*m for _ in range(n)]
while True:
x,y = -1,-1
# 开始遍历还没确定的点
for i in range(n):
for j in range(m):
if not done[i][j] and ((x<0 and y <0) or dis[i][j] < dis[x][y]):
x,y = i,j
if x<0 and y <0:
# 说明都找到了
return dis[n-1][m-1]
# 设置已经找到
done[x][y] = True
# 访问邻居
for i,j in (x+1,y),(x-1,y),(x,y+1),(x,y-1):
if 0<= i < n and 0<= j < m:
dis[i][j] = min(max(dis[x][y],moveTime[i][j]) + 1,dis[i][j])
展示使用堆优化的Dijkstra算法
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import heapq
class Solution:
def minTimeToReach(self, moveTime: List[List[int]]) -> int:
# 首先先使用 堆优化的Dijkstra进行解题
# 图已经构建，就是moveTime
# dis[i][j]表示(0,0)到(i,j)的最短的时间
n,m = len(moveTime),len(moveTime[0])
dis = [[float('inf')]*m for _ in range(n)]
dis[0][0] = 0
h = [(0,0,0)]
while True:
d,x,y = heapq.heappop(h)
if x == n-1 and y == m-1:
return d
# 已经更新过了
if d > dis[x][y]:
continue
# 访问邻居：
for i,j in (x+1,y),(x-1,y),(x,y+1),(x,y-1):
if 0<= i <n and 0<= j < m:
# 合法的坐标
# 计算当前的距离，小于才入堆
new_dis = max(d,moveTime[i][j])+1
if dis[i][j]>new_dis:
dis[i][j] = new_dis
heapq.heappush(h,(dis[i][j],i,j))
