【Day53 LeetCode】图论问题

银河梦想家2025-03-05 12:59

一、图论问题

1、Floyd算法

之前提到的dijkstra算法和Bellman算法都是只能有一个起点，而这题是求多个起点到多个终点的多条最短路径。Floyd算法的思想是动态规划。

dp数组，grid $i$ $j$ $k$ = m，表示节点i 到节点j 以 $1...k$ 集合中的一个节点为中间节点的最短距离为m。

dp方程，节点i 到节点j 的最短路径是否经过节点k。若经过，grid $i$ $j$ $k$ = grid $i$ $k$ $k - 1$ + grid $k$ $j$ $k - 1$ ；若不经过，grid $i$ $j$ $k$ = grid $i$ $j$ $k - 1$ 。所以，递推方程为grid $i$ $j$ $k$ = min(grid $i$ $k$ $k - 1$ + grid $k$ $j$ $k - 1$ ， grid $i$ $j$ $k - 1$ )

CPP 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
using namespace std;

int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<vector<int>>> grid(n + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(n + 1, 10005)));  // 因为边的最大距离是10^4
    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        grid[p1][p2][0] = val;
        grid[p2][p1][0] = val; 
    }
    // 开始 floyd
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                grid[i][j][k] = min(grid[i][j][k-1], grid[i][k][k-1] + grid[k][j][k-1]);
            }
        }
    }
    // 输出结果
    int z, start, end;
    cin >> z;
    while (z--) {
        cin >> start >> end;
        if (grid[start][end][n] == 10005)
            cout << -1 << endl;
        else
            cout << grid[start][end][n] << endl;
    }
}

空间优化，减少dp数组的一个维度，代码如下：

CPP 复制代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n, m, p1, p2, val;
    cin >> n >> m;

    vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, 10005));  // 因为边的最大距离是10^4

    for(int i = 0; i < m; i++){
        cin >> p1 >> p2 >> val;
        grid[p1][p2] = val;
        grid[p2][p1] = val; 

    }
    // 开始 floyd
    for (int k = 1; k <= n; k++) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                grid[i][j] = min(grid[i][j], grid[i][k] + grid[k][j]);
            }
        }
    }
    // 输出结果
    int z, start, end;
    cin >> z;
    while (z--) {
        cin >> start >> end;
        if (grid[start][end] == 10005)
        	cout << -1 << endl;
        else
        	cout << grid[start][end] << endl;
    }
}

2、A star算法

BFS 是没有目的性的一圈一圈去搜索，而 A * 是有方向性的去搜索，这个是A算法和BFS最本质的区别。A的方向由启发性函数决定，这部分代码之后补上。