联合概率、边缘概率、条件概率
- 联合概率
- 边缘概率
- 条件概率
- 全概率
一副标准扑克牌有 54 张，包括 52 张常规牌（13 个点数，每个点数有 4 种花色）和 2 张王（大、小王）。我们从中随机抽取一张牌，定义以下事件：
- 事件 A：抽到的牌是红桃
- 事件 B：抽到的牌是 K
联合概率
联合概率联合概率是指两个事件同时发生的概率，即抽到的牌既是红桃又是 K 的概率。在扑克牌中，既是红桃又是 K 的牌只有 1 张，即红桃 K。所以事件 A 和事件 B 的联合概率 P ( A ∩ B ) P(A \cap B) P(A∩B)为：
P ( A ∩ B ) = 1 54 P(A \cap B)=\frac{1}{54} P(A∩B)=541
边缘概率
边缘概率是只考虑一个事件发生的概率，而不考虑另一个事件的情况。
- 对于事件 A（抽到红桃），扑克牌中红桃有 13 张，所以事件 A 的边缘概率 P ( A ) P(A) P(A)为：
P ( A ) = 13 54 P(A)=\frac{13}{54} P(A)=5413 - 对于事件 B（抽到 K），扑克牌中 K 有 4 张，所以事件 B 的边缘概率 P ( B ) P(B) P(B)为：
P ( B ) = 4 54 = 2 27 P(B)=\frac{4}{54}=\frac{2}{27} P(B)=544=272
条件概率
条件概率是在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
- 在事件 B（抽到 K）已经发生的条件下，求事件 A（抽到红桃）的概率，即 P ( A ∣ B ) P(A|B) P(A∣B)。因为已知抽到的是 K，而 4 张 K 中只有 1 张是红桃 K，所以：
P ( A ∣ B ) = 1 4 P(A|B)=\frac{1}{4} P(A∣B)=41 - 在事件 A（抽到红桃）已经发生的条件下，求事件 B（抽到 K）的概率，即 P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A)。因为已知抽到的是红桃，而 13 张红桃中只有 1 张是 K，所以：
P ( B ∣ A ) = 1 13 P(B|A)=\frac{1}{13} P(B∣A)=131
根据前面提到的条件概率公式 P ( A ∣ B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(A∩B)，我们可以验证一下：已知 P ( A ∩ B ) = 1 54 P(A \cap B)=\frac{1}{54} P(A∩B)=541， P ( B ) = 4 54 P(B)=\frac{4}{54} P(B)=544，则 P ( A ∣ B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) = 1 54 4 54 = 1 4 P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{54}}{\frac{4}{54}}=\frac{1}{4} P(A∣B)=P(B)P(A∩B)=544541=41符合我们前面计算的结果。
全概率
假设一副扑克牌，去掉大小王共 52 张牌，将其分为两组，其中一组是黑色牌（黑桃和梅花）共 26 张，记为事件 B 1 B_1 B1；另一组是红色牌（红桃和方块）共 26 张，记为事件 B 2 B_2 B2。我们定义事件A为 "抽到的牌是 K"。
首先， B 1 B_1 B1和 B 2 B_2 B2构成了样本空间的一个划分，即 B 1 B_1 B1和 B 2 B_2 B2互斥（一副牌不可能既是黑色又是红色），且 B 1 ∪ B 2 B_1\cup B_2 B1∪B2是整个样本空间（所有牌不是黑色就是红色）。已知 P ( B 1 ) = P ( B 2 ) = 26 52 = 1 2 P(B_1)=P(B_2)=\frac{26}{52}=\frac{1}{2} P(B1)=P(B2)=5226=21，即在没有任何其他条件的情况下，抽到黑色牌和红色牌的概率都是 1 2 \frac{1}{2} 21。
在黑色牌组 B 1 B_1 B1中，K 有 2 张（黑桃 K 和梅花 K），所以在 B 1 B_1 B1发生的条件下，A发生的概率 P ( A ∣ B 1 ) = 2 26 = 1 13 P(A|B_1)=\frac{2}{26}=\frac{1}{13} P(A∣B1)=262=131。
在红色牌组 B 2 B_2 B2中，K 也有 2 张（红桃 K 和方块 K），所以 P ( A ∣ B 2 ) = 2 26 = 1 13 P(A|B_2)=\frac{2}{26}=\frac{1}{13} P(A∣B2)=262=131。
根据全概率公式 P ( A ) = ∑ i = 1 n P ( B i ) P ( A ∣ B i ) P(A)=\sum_{i = 1}^{n}P(B_i)P(A|B_i) P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A∣Bi)，这里 n = 2 n = 2 n=2，则：
KaTeX parse error: No such environment: align* at position 7: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ P(A)&=P(B_1)P(...
这与我们直接计算从 52 张牌中抽到 K 的概率结果是一致的，即 4 52 = 1 13 \frac{4}{52}=\frac{1}{13} 524=131，说明全概率公式是合理且有效的。它通过将一个复杂事件A分解为在不同条件 B i B_i Bi下的简单事件，然后综合这些简单事件的概率来计算复杂事件的概率。