古典概型与几何概型
一、相关概念
1. 古典概型（等可能概型）
定义：若随机试验满足：
- 样本空间只包含
有限个基本事件（有限性） - 每个基本事件发生的
可能性相同（等可能性）
则称该试验为古典概型。
2. 几何概型
定义：若随机试验满足：
- 样本空间Ω是一个可度量的
几何区域（长度、面积、体积等） - 每个样本点出现是
等可能的，即落在Ω的任意可度量子区域A中的可能性与A的度量成正比，而与A的形状和位置无关
则称该试验为几何概型。
古典概型：
就像从一副扑克牌中随机抽一张牌：
- 总共只有54种可能（有限性）
- 每张牌被抽到的机会都一样（等可能性）
几何概型：
就像在操场上随机扔一个沙包：
- 沙包可能落在操场任何地方（无限可能）
- 落在某个区域的概率只和这个区域的面积大小有关
二、公式与符号
古典概型公式：
P(A) = m/n
其中：
m = 事件A包含的基本事件数
n = 样本空间的基本事件总数几何概型公式：
P(A) = 度量(A) / 度量(Ω)
具体形式：
- 一维（长度）：P(A) = L(A)/L(Ω)
- 二维（面积）：P(A) = S(A)/S(Ω)
- 三维（体积）：P(A) = V(A)/V(Ω)三、举例说明
例题1（古典概型）：抛掷两枚均匀骰子
问题：求点数之和为8的概率
解题步骤：
1. 确定样本空间：每枚骰子有6面，两枚共有6×6=36种等可能结果
Ω = {(1,1),(1,2),...,(6,6)}
2. 定义事件A：点数之和为8
A = {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} 共5种情况
3. 计算概率：
P(A) = 5/36 ≈ 0.1389例题2（几何概型）：候车问题
问题：公交车每10分钟一班，乘客随机到达，求候车时间不超过3分钟的概率
解题步骤：
1. 确定样本空间：乘客在[0,10]分钟内随机到达
Ω的长度：10分钟
2. 定义事件A：候车时间≤3分钟
- 乘客在t时刻到达，候车时间为10-t
- 要满足10-t ≤ 3，即t ≥ 7
- 所以A = [7,10]
3. 计算概率：
P(A) = 长度([7,10]) / 长度([0,10]) = 3/10 = 0.3四、实际应用案例
案例1（古典概型）：彩票中奖计算
情景：从30个号码中选7个开奖号码，购买1注（选7个号）中一等奖的概率
计算过程：
1. 样本空间总数：C(30,7) = 30选7的组合数
C(30,7) = 30!/(7!×23!) = 2035800
2. 中一等奖：只有1种情况（与开奖号码完全一致）
3. 概率：P = 1/2035800 ≈ 4.91×10⁻⁷现实意义：这种极低的概率解释了为什么中大奖如此困难。
案例2（几何概型）：约会问题
情景：甲乙约定12:00-13:00见面，先到者等15分钟即离开，求能见面的概率
建模与计算：
1. 设甲到达时刻为x，乙到达时刻为y（单位：分钟）
x,y ∈ [0,60]
2. 能见面的条件：|x-y| ≤ 15
3. 建立坐标系：
- 样本空间：正方形区域0≤x≤60，0≤y≤60
- 面积：S(Ω)=60×60=3600
4. 事件A：|x-y|≤15
- 在坐标系中是两条直线y=x±15之间的区域
- 计算A的面积：
S(A) = 正方形面积 - 两个三角形面积
= 3600 - 2×(1/2×45×45)
= 3600 - 2025 = 1575
5. 概率：P(A)=1575/3600=0.4375现实意义：约43.75%的见面成功率，说明需要更宽松的时间约定。
五、总结
-
古典概型特点：
- 有限个结果
- 每个结果等可能
- 计算：有利结果数/总结果数
-
几何概型特点：
- 无限个结果（连续区域）
- 等可能性体现在度量上
- 计算：几何度量比
-
关键区别：
- 古典概型：离散、有限
- 几何概型：连续、无限
六、思考题
思考题1（古典概型）：
一副52张扑克牌，求抽到红桃或A的概率
解答：
设A="抽到红桃"，B="抽到A"
P(A)=13/52，P(B)=4/52
但红桃A被重复计算：P(A∩B)=1/52
根据加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
=13/52+4/52-1/52
=16/52=4/13≈0.3077思考题2（几何概型）：
在[0,2]随机取x，求x²-3x+2<0的概率
解答：
1. 解不等式：x²-3x+2<0
(x-1)(x-2)<0 ⇒ 1 < x < 2
2. 样本空间长度：2-0=2
3. 事件A的长度：2-1=1
4. 概率：P(A)=1/2=0.5