三维仿射变换矩阵
三维仿射变换矩阵有 3 × 4 、 4 × 4 3\times4、4\times4 3×4、4×4两种写法，都是施加到三维点的齐次式上， 4 × 4 4\times4 4×4的仿射变换矩阵是在 3 × 4 3\times4 3×4的矩阵后追加一行 ( 0 , 0 , 0 , 1 ) (0,0,0,1) (0,0,0,1)，便于通过连续左乘计算组合变换矩阵，这里只对平移、缩放、旋转三种变换展开分析，剪切、反射这两种变换暂不展开，并且对旋转变换会做比较细致的分析。
平移变换
平移量为 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)的平移变换矩阵是：
1 0 0 a 0 1 0 b 0 0 1 c \] \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 0 \& a\\\\ 0 \& 1 \& 0 \& b\\\\ 0 \& 0 \& 1 \& c \\end{bmatrix} 100010001abc ## 缩放变换 点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)变成 ( a x , b y , c z ) (ax,by,cz) (ax,by,cz)的缩放矩阵是 \[ a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 \] \\begin{bmatrix} a \& 0 \& 0 \& 0\\\\ 0 \& b \& 0 \& 0\\\\ 0 \& 0 \& c \& 0 \\end{bmatrix} a000b000c000 ## 旋转变换 ### 绕x、y、z单个轴旋转的变换 三维点绕 x x x轴逆时针旋转 α \\alpha α角的旋转变换矩阵为： R x ( α ) = \[ 1 0 0 0 0 cos α − sin α 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 1 \] R_x(\\alpha) = \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 0 \& 0\\\\ 0 \& \\cos\\alpha \& -\\sin\\alpha \& 0\\\\ 0 \& \\sin\\alpha \& \\cos\\alpha \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix} Rx(α)= 10000cosαsinα00−sinαcosα00001 三维点绕 y y y轴逆时针旋转 β \\beta β角的旋转变换矩阵为： R y ( β ) = \[ cos β 0 sin β 0 0 1 0 0 − sin β 0 cos β 0 0 0 0 1 \] R_y(\\beta) = \\begin{bmatrix} \\cos\\beta \& 0 \& \\sin\\beta \& 0\\\\ 0 \& 1 \& 0 \& 0\\\\ -\\sin\\beta \& 0 \& \\cos\\beta\& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix} Ry(β)= cosβ0−sinβ00100sinβ0cosβ00001 三维点绕 z z z轴逆时针旋转 γ \\gamma γ角的旋转变换矩阵为： R z ( γ ) = \[ cos γ − sin γ 0 0 sin γ cos γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 \] R_z(\\gamma) = \\begin{bmatrix} \\cos\\gamma \& -\\sin\\gamma \& 0 \& 0\\\\ \\sin\\gamma \& \\cos\\gamma \& 0 \& 0\\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix} Rz(γ)= cosγsinγ00−sinγcosγ0000100001 因此，三维点先绕 x x x轴逆时针旋转 α \\alpha α角，再绕 y y y轴逆时针旋转 β \\beta β角，最后绕 z z z轴逆时针旋转 γ \\gamma γ角的旋转变换矩阵为(**注意顺序重要** )： R z ( γ ) R y ( β ) R x ( α ) = \[ cos γ − sin γ 0 0 sin γ cos γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 \] \[ cos β 0 sin β 0 0 1 0 0 − sin β 0 cos β 0 0 0 0 1 \] \[ 1 0 0 0 0 cos α − sin α 0 0 sin α cos α 0 0 0 0 1 \] = \[ cos β cos γ sin α sin β cos γ − sin γ cos α sin β cos α cos γ + sin α sin γ 0 cos β sin γ sin α sin β sin γ + cos α cos γ sin γ sin β cos α − sin α cos γ 0 − sin β sin α cos β cos α cos β 0 0 0 0 1 \] \\begin{matrix}R_z(\\gamma) R_y(\\beta)R_x(\\alpha) = \\begin{bmatrix} \\cos\\gamma \& -\\sin\\gamma \& 0 \& 0\\\\ \\sin\\gamma \& \\cos\\gamma \& 0 \& 0\\\\ 0 \& 0 \& 1 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\cos\\beta \& 0 \& \\sin\\beta \& 0\\\\ 0 \& 1 \& 0 \& 0\\\\ -\\sin\\beta \& 0 \& \\cos\\beta\& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \& 0 \& 0\\\\ 0 \& \\cos\\alpha \& -\\sin\\alpha \& 0\\\\ 0 \& \\sin\\alpha \& \\cos\\alpha \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix} \\\\ = \\begin{bmatrix} \\cos\\beta\\cos\\gamma \& \\sin\\alpha\\sin\\beta\\cos\\gamma−\\sin\\gamma\\cos\\alpha \& \\sin\\beta\\cos\\alpha\\cos\\gamma+\\sin\\alpha\\sin\\gamma \& 0\\\\ \\cos\\beta\\sin\\gamma \& \\sin\\alpha\\sin\\beta\\sin\\gamma+\\cos\\alpha\\cos\\gamma \& \\sin\\gamma\\sin\\beta\\cos\\alpha−\\sin\\alpha\\cos\\gamma \& 0\\\\ -\\sin\\beta \& \\sin\\alpha\\cos\\beta \& \\cos\\alpha\\cos\\beta \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix}\\end{matrix} Rz(γ)Ry(β)Rx(α)= cosγsinγ00−sinγcosγ0000100001 cosβ0−sinβ00100sinβ0cosβ00001 10000cosαsinα00−sinαcosα00001 = cosβcosγcosβsinγ−sinβ0sinαsinβcosγ−sinγcosαsinαsinβsinγ+cosαcosγsinαcosβ0sinβcosαcosγ+sinαsinγsinγsinβcosα−sinαcosγcosαcosβ00001 详细推导可参考这篇[博客](https://blog.csdn.net/shenquanyue/article/details/103262512) ### 绕任意轴旋转 绕点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)且单位法向量为 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)的轴旋转的变换矩阵为： \[ cos θ + a 2 ( 1 − cos θ ) a b ( 1 − cos θ ) − c sin θ a c ( 1 − cos θ ) + b sin θ ( ( 1 − a 2 ) x 0 − a ( b y 0 + c z 0 ) ) ( 1 − cos θ ) + ( c y 0 − b z 0 ) sin θ a b ( 1 − cos θ ) + c sin θ cos θ + b 2 ( 1 − cos θ ) b c ( 1 − c o s θ ) − a sin θ ( ( 1 − b 2 ) y 0 − b ( a x 0 + c z 0 ) ) ( 1 − cos θ ) + ( a z 0 − c x 0 ) sin θ a c ( 1 − cos θ ) − b sin θ b c ( 1 − cos θ ) + a sin θ cos θ + c 2 ( 1 − cos θ ) ( ( 1 − c 2 ) z 0 − c ( a x 0 + b y 0 ) ) ( 1 − cos θ ) + ( b x 0 − a y 0 ) sin θ 0 0 0 1 \] \\begin{bmatrix} \\cos\\theta + a\^2(1-\\cos\\theta) \& ab(1-\\cos\\theta)-c\\sin\\theta \& ac(1-\\cos\\theta)+b\\sin\\theta \& ((1-a\^2)x_0-a(by_0+cz_0))(1-\\cos\\theta)+(cy_0-bz_0)\\sin\\theta \\\\ ab(1-\\cos\\theta)+c\\sin\\theta \& \\cos\\theta+b\^2(1-\\cos\\theta) \& bc(1-cos\\theta)-a\\sin\\theta \& ((1-b\^2)y_0-b(ax_0+cz_0))(1-\\cos\\theta)+(az_0-cx_0)\\sin\\theta \\\\ ac(1-\\cos\\theta)-b\\sin\\theta \& bc(1-\\cos\\theta)+a\\sin\\theta \& \\cos\\theta+c\^2(1-\\cos\\theta) \& ((1-c\^2)z_0-c(ax_0+by_0))(1-\\cos\\theta)+(bx_0-ay_0)\\sin\\theta \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix} cosθ+a2(1−cosθ)ab(1−cosθ)+csinθac(1−cosθ)−bsinθ0ab(1−cosθ)−csinθcosθ+b2(1−cosθ)bc(1−cosθ)+asinθ0ac(1−cosθ)+bsinθbc(1−cosθ)−asinθcosθ+c2(1−cosθ)0((1−a2)x0−a(by0+cz0))(1−cosθ)+(cy0−bz0)sinθ((1−b2)y0−b(ax0+cz0))(1−cosθ)+(az0−cx0)sinθ((1−c2)z0−c(ax0+by0))(1−cosθ)+(bx0−ay0)sinθ1 特别地，绕原点且单位法向量为 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)的轴旋转的变换矩阵为： \[ cos θ + a 2 ( 1 − cos θ ) a b ( 1 − cos θ ) − c sin θ a c ( 1 − cos θ ) + b sin θ 0 a b ( 1 − cos θ ) + c sin θ cos θ + b 2 ( 1 − cos θ ) b c ( 1 − c o s θ ) − a sin θ 0 a c ( 1 − cos θ ) − b sin θ b c ( 1 − cos θ ) + a sin θ cos θ + c 2 ( 1 − cos θ ) 0 0 0 0 1 \] \\begin{bmatrix} \\cos\\theta + a\^2(1-\\cos\\theta) \& ab(1-\\cos\\theta)-c\\sin\\theta \& ac(1-\\cos\\theta)+b\\sin\\theta \& 0 \\\\ ab(1-\\cos\\theta)+c\\sin\\theta \& \\cos\\theta+b\^2(1-\\cos\\theta) \& bc(1-cos\\theta)-a\\sin\\theta \& 0 \\\\ ac(1-\\cos\\theta)-b\\sin\\theta \& bc(1-\\cos\\theta)+a\\sin\\theta \& \\cos\\theta+c\^2(1-\\cos\\theta) \& 0 \\\\ 0 \& 0 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix} cosθ+a2(1−cosθ)ab(1−cosθ)+csinθac(1−cosθ)−bsinθ0ab(1−cosθ)−csinθcosθ+b2(1−cosθ)bc(1−cosθ)+asinθ0ac(1−cosθ)+bsinθbc(1−cosθ)−asinθcosθ+c2(1−cosθ)00001 详细推导可参考这篇[博客](https://blog.csdn.net/u013407012/article/details/103721902)