目录
[1. 用一个有趣的角度看向量坐标](#1. 用一个有趣的角度看向量坐标)
[2. 如果我们选择不同的基向量会怎样？](#2. 如果我们选择不同的基向量会怎样？)
[3. 线性组合](#3. 线性组合)
[4. 张成的空间](#4. 张成的空间)
[① 二维向量的张成的空间](#① 二维向量的张成的空间)
[② 三维向量的张成的空间编辑](#② 三维向量的张成的空间编辑)
[7. 基的定义](#7. 基的定义)
一、线性组合
1. 用一个有趣的角度看向量坐标
当你看到一对描述向量的数时，把它的每一个坐标看作一个标量，也就是说他们如何拉伸或压缩一个向量。
例如向量（3，2）的x坐标是将x方向的单位向量（i-hat)拉伸为原来的3倍，y坐标将y方向上的单位向量（j-hat）反向并拉伸为原来的2倍，
从这个角度看，向量实际上是两个经过缩放的向量的和。"缩放向量并相加"
2. 如果我们选择不同的基向量会怎样？
我们完全可以选择不同的基向量，获得一个合理的新坐标系
通过改变所选择的标量，可以获得所有的二维向量。
每当我们使用数字描述变量时，他都依赖于我们真在使用的基
3. 线性组合
两个数乘向量的和称为这两个向量的线性组合
空间中不共线的两个不为零向量都可以表示空间中的任意一个向量。
至于为什么被称为"线性"，有一种几何直观：如果你固定其中一个标量，让另一个标量自由变化，所产生的向量终点会描出一条直线
4. 张成的空间
① 二维向量的张成的空间
将所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合称为给定向量张成的空间
对于大部分二维向量而言，它们的张成空间是所有的二维向量的集合。
但当它们共线时，它们张成的空间就是终点落在一条直线上的向量集合
两个向量张成的空间实际是在问，仅通过向量加法与向量数乘这两种基础运算，你能获得的所有可能向量集合是什么
当你考虑一个向量时就把它看作一个箭头，当你考虑多个向量时，就把它们看作点。
在用上面的观点去考虑之前的情况
- 对于大部分二维向量而言，它们的张成的空间是一个无限大的二维平面
- 对于共线的二维向量来说，它们的张成的空间就是一条直线
② 三维向量的张成的空间
逐渐改变两个线性组合中的两个标量，把缩放后的向量相加，然后跟着最终的向量（上图绿色）的终点走，这个终点会画出三维空间中某个过原点的平面，这个平面就是这两个三维向量的张成的空间，或者说所有落在这个平面上的向量的集合是这两个向量的张成的空间。
如果在加上第三个三维向量，那么它们的张成的空间是怎么样的呢？
三个向量线性组合的定义根之前定义的方法基本一致
选择三个标量，对三个向量分别进行缩放，然后把结果相加的到（绿色向量）
这三个向量的所有组合构成了它们张成的空间
如果第三个向量恰好落在前两个向量张成的空间的平面上，那么它们的张成的空间并没有发生改变，你还被困在这平面上。
换句话说，在线性组合中引入第三个向量并没有让你'走的更远'
但是如果你随机选一个向量，它几乎不可'能落在前两个向量所张成的平面中，在这种情况下，由于第三个向量指向不同的方向，我们就能得到所有得三维向量。
5.线性相关
对于第三个向量已经落在前两个向量得张成的空间中或者两个向量恰好共线的情况，我们使用一些术语来描述它们，即一组向量中至少有一个是多余的，没有对张成的空间做出贡献。
你有多个向量，并且可以移除其中一个而不减小张成的空间，当这种情况发生时，我们称它们是"线性相关的"
另一种表示方式是其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合，因为这个向量已经落在其他向量的张成的空间上了
6.线性无关
如果使用的向量都对张成的空间做出贡献，那么就可以称他们为线性无关的
7. 基的定义
向量空间一组基的严格定义：
向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集