高效查找 Bitonic 数组中的目标值：二分查找的应用

在算法面试中，经常会遇到二分查找（Binary Search）相关的变形题。而今天要讨论的 Bitonic Array Search，正是其中一个巧妙运用二分查找的经典问题。

这篇文章将带你深入理解 Bitonic 数组的结构，并探讨如何优化搜索过程，让二分查找真正发挥 O(logN) 的高效特性。

📌 题目背景：什么是 Bitonic 数组？

Bitonic 数组是一种特殊的数组，它先递增后递减，并且在某个位置达到峰值。例如：

ini 复制代码

array = [1, 3, 8, 12, 4, 2]

在该数组中：

左侧 [1, 3, 8, 12] 递增
右侧 [12, 4, 2] 递减
峰值在索引 3 处，即 12

📝 目标：在这个数组中高效查找目标值 target 的索引，如果不存在返回 -1。

💡 解题思路

🔹 Step 1: 先找峰值

由于 Bitonic 数组有单调性变化（先增后减），我们可以用二分查找找到峰值索引 peakIndex：

若 array[mid] < array[mid+1]，说明峰值在右侧，调整 left = mid + 1
否则，峰值在左侧或 mid 位置，调整 right = mid

🔹 Step 2: 在两侧进行二分查找

先查左侧递增区间：
- 如果 target 在 [0, peakIndex] 这个递增区间，使用普通二分查找。
再查右侧递减区间：
- 如果 target 在 [peakIndex + 1, N-1] 这个递减区间，使用逆序二分查找（因为该区间是递减的）。

这样，我们仅需 O(logN) + O(logN) = O(logN) 的时间复杂度完成搜索。

🔎 代码实现

ini 复制代码

public class Solution {
    public int search(int[] array, int target) {
        if (array == null || array.length == 0) return -1;

        // 1️⃣ 找到峰值索引
        int peakIndex = findPeak(array);

        // 2️⃣ 在左侧递增部分查找
        int leftResult = binarySearch(array, target, 0, peakIndex, true);
        if (leftResult != -1) return leftResult;

        // 3️⃣ 在右侧递减部分查找
        return binarySearch(array, target, peakIndex + 1, array.length - 1, false);
    }

    /** 找到峰值索引 */
    private int findPeak(int[] array) {
        int left = 0, right = array.length - 1;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (array[mid] < array[mid + 1]) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid;
            }
        }
        return left; // 返回峰值索引
    }

    /** 在指定区间执行二分查找 */
    private int binarySearch(int[] array, int target, int left, int right, boolean ascending) {
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (array[mid] == target) return mid;
            if (ascending) {
                if (array[mid] < target) left = mid + 1;
                else right = mid - 1;
            } else {
                if (array[mid] < target) right = mid - 1;
                else left = mid + 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

🚀卡点 & 解决方案

在刷这道题的过程中，可能会遇到一些理解障碍，这里针对几个常见问题做拆解分析：

❌ 卡点 1: 为什么要找峰值？

误区：能不能直接进行二分查找？

✅ 解法：

Bitonic 数组的单调性变化导致无法直接用标准二分查找。
先找峰值，再在两侧二分查找，保证 O(logN) 复杂度。

❌ 卡点 2: 峰值查找的逻辑不清楚

误区：left = mid + 1 vs. right = mid 不知道如何选择？

✅ 解法：

如果 array[mid] < array[mid+1]，说明峰值在右侧，所以 left = mid + 1
否则，峰值在左侧或 mid 本身，调整 right = mid
直到 left == right，即找到峰值索引。

❌ 卡点 3: 二分查找的方向如何调整？

误区：在递增和递减部分都用同一个 binarySearch 逻辑？

✅ 解法：

递增部分：标准二分查找（左小右大）。
递减部分：反向二分查找（左大右小）。

🎯 Follow-up

💡 变形题

如果数组中有重复元素怎么办？
- 可能会导致多个局部峰值，需要额外处理。
如果要求返回插入位置，而不是索引？
- 需要修改二分查找逻辑，返回 left 指针的位置。
如果数组可能没有 Bitonic 结构，如何处理？
- 需要先验证是否符合 Bitonic 条件。
如果数组是 Bitonic Linked List，而不是数组呢？
- 不能直接使用索引，需要通过 快慢指针 或 三段二分查找。

📝 高级优化

能用一次二分查找完成搜索吗？
- 直接在二分查找过程中动态判断方向，而不需要先找峰值。
这个解法能否在 O(1) 额外空间下完成？
- 可以，只需在原数组上操作，无需额外存储。

🔚 总结

关键点	思路
Bitonic 结构	先递增后递减，峰值最大
二分查找峰值	`O(logN)` 时间找到 `peakIndex`
两次二分查找	先查左侧（递增），再查右侧（递减）
变形题思考	重复元素、多峰值、插入位置、链表等

✅ 这道题考察的是：

二分查找的变形与灵活运用
如何利用 Bitonic 结构优化搜索
如何处理面试中的 Follow-up 问题