蓝桥杯C++基础算法-多重背包

这段代码实现了一个多重背包问题的动态规划解法。多重背包问题与完全背包问题类似，但每个物品有其数量限制。以下是代码的详细思路解析：

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1. 问题背景

给定 n 个物品，每个物品有其体积 v[i]、价值 w[i] 和数量 s[i]，以及一个容量为 m 的背包。目标是选择物品使得总价值最大，同时总容量不超过背包的容量。与完全背包问题不同的是，多重背包问题中每个物品的数量是有限的。

2. 动态规划的概念

动态规划是一种常用的算法技巧，用于解决具有重叠子问题和最优子结构的问题。在多重背包问题中，动态规划通过维护一个二维数组 f 来记录不同状态下的最大价值。

3. 代码逻辑解析

(1) 输入数据

cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];

• 用户输入物品数量 n 和背包容量 m。

• 对于每个物品，输入其体积 v[i]、价值 w[i] 和数量 s[i]。

(2) 动态规划状态转移

for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = 0; j <= m; j++)
        for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k++)
            f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);

1. 外层循环：

   • 遍历每个物品，从第 1 个到第 n 个。

2. 中层循环：

   • 遍历背包的每个容量，从 0 到 m。

3. 内层循环：

   • 遍历每个物品可以被选择的次数 k，从 0 到 s[i]（即当前物品的最大数量），并且确保 k * v[i] <= j（即当前容量可以容纳的最大次数）。

4. 状态转移：

   • f[i][j] 表示前 i 个物品在容量为 j 的背包下的最大价值。

   • 不选择第 i 个物品 ：f[i][j] = f[i - 1][j]，即前 i-1 个物品在容量为 j 的背包下的最大价值。

   • 选择第 i 个物品 k 次 ：更新 f[i][j] 为 f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k，即前 i-1 个物品在容量为 j - v[i] * k 的背包下的最大价值加上第 i 个物品的价值乘以选择次数 k。

(3) 输出结果

cout << f[n][m] << endl;

• 输出最终的最大价值，即 f[n][m]。

4. 代码效率分析

• 时间复杂度：

  • 三层循环遍历所有物品、所有容量和所有选择次数，时间复杂度为 O(n × m × s_max) ，其中 s_max 是最大的物品数量。

• 空间复杂度：

  • 使用了一个二维数组 f，空间复杂度为 O(n × m)。

5. 示例运行

输入：

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出：

10

6. 总结

这段代码的核心思路是通过动态规划 解决多重背包问题。通过维护一个二维数组 f，记录不同状态下的最大价值，并通过状态转移方程更新最大价值，最终找到在给定背包容量下的最大价值。这种方法的时间复杂度为 O(n × m × s_max) ，空间复杂度为 O(n × m)，适用于中等规模的多重背包问题。

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 定义常量 N 作为数组的最大长度
const int N = 110;
// n 表示物品的种类数，m 表示背包的容量
int n, m;
// v 数组存储每种物品的体积，w 数组存储每种物品的价值，s 数组存储每种物品的数量上限
int v[N], w[N], s[N];
// f 数组是二维数组，f[i][j] 表示前 i 种物品，背包容量为 j 时能获得的最大价值
int f[N][N];

int main()
{
    // 输入物品的种类数 n 和背包的容量 m
    cin >> n >> m;
    // 循环读入每种物品的体积、价值和数量上限
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];

    // 动态规划过程，外层循环遍历每种物品
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        // 中层循环遍历背包的所有可能容量
        for(int j = 0; j <= m; j ++)
            // 内层循环枚举当前物品 i 放入的数量 k，k 要满足不超过该物品的数量上限 s[i] 且放入 k 个物品后的体积不超过当前背包容量 j
            for(int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; k ++)
                // 比较当前记录的最大价值 f[i][j] 和放入 k 个第 i 种物品后的价值
                // 放入 k 个第 i 种物品后，剩余容量为 j - v[i] * k，之前 i - 1 种物品在该剩余容量下的最大价值为 f[i - 1][j - v[i] * k]
                // 放入 k 个第 i 种物品的价值为 w[i] * k
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);

    // 输出前 n 种物品，背包容量为 m 时能获得的最大价值
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}