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1、图
1、图的基本概念：
- 有向图用<a,b>表示，无向图用(a,b)表示。
- 简单图：不存在重边、不存在顶点到自身的边。
- 简单路径：顶点不重复出现的路径。（除去第一个和最后一个顶点其余顶点不重复出现的回路叫简单回路）
- 完全图：任意两个顶点均有边存在（完全图一定是连通图）（有向图n(n-1)条边，无向图n(n-1)/2条边）。
2、联通图与连通分量：（找图中有多少连通分量？？？）
- 连通图：无向图中任意两点都是连通的。
- 连通分量(对于非连通图来说的)：无向图的极大连通子图。
- 极小连通子图（生成树）：若n个点则只有n-1个边。（多加一个就生成环，少加一个边就不连通）
- 强连通分量和强连通图是指有向图。
- 强连通分量个数：①找入度和出度为0的点，依次删除该点和相对应的边，直到没有入度和出度为0的点。②删除掉的所有顶点数加上最后一个连通图。
3、顶点的度：所有顶点的度（顶点a的度：某一个顶点的度）
4、n个顶点，保证连通最少要多少边：n-1个顶点组成完全图再加最后一个顶点。
2、图的存储
1、邻接矩阵：
- 稠密图适用邻接矩阵，复杂度O(n*n)，邻接矩阵表示法唯一，邻接表不唯一。
- 二维数组的n次方：图中两个点长度为n的路径个数。
2、邻接表：
- 结合顺序存储和链式存储，节省空间避免浪费。稀疏图适用于邻接表。
- 删除某个点相关的所有边：入度和出度，遍历整个表，O(n+e)。
- 顶点在边表出现的次数：该顶点的入度。
- 无向图存储空间O(n+2e)，因为每条边遍历两次，有向图存储空间O(n+e)
3、十字链表：
- 十字链表：是有向图的一种链式存储结构。
- 步骤：先画邻接表，再一次从前往后找后面存储的第二位数字与其相同的，并指向它。
4、邻接多种表：
- 是无向图的一种链式存储结构。
3、图的遍历
1、时间复杂度和空间复杂度：
- **邻接表：****BFS和DFS时间均为O(n+e)，空间复杂度均为O(n)，**需要借用一个数组进行标记，故为O(n)。
- **邻接矩阵：****BFS和DFS时间均为O(n*n)，空间也均为O(n*n)，**二维数组故为O(n*n)
- 图的遍历不一定必须是连通图，非连通图需要调用两次或两次以上的遍历算法
- BFS借用队列，放入队列中，依此进依次出。
4、最小生成树
1、生成树的定义：
- 生成树、深度优先生成树、广度优先生成树、最小生成树。
- Kruskal、Prim算法
2、最小生成树：
- 有权值相同的边，最小生成树****可能不唯一；只要没有权值相同的边，则最小生成树一定唯一。
- 大题唯一不唯一：只要最小的边都被选了。且最后一个或几个加入的边只有这一种选择，则唯一。（因为加入其他的边就重合）（大部分是的，具体的具体分析）
- 最小生成树虽可能不唯一，但权值最小唯一，边值也唯一(点数减一)，且无法保证任意两点之间是最短路径。
3、Kruskal算法：
- **围绕边进行选择，**对边进行权值排序，依次判别加入。
- 不依赖顶点V，边排序O(elge)。（适用于边稀疏但顶点多）
4、Prim算法：
- 围绕顶点进行选择。（任选一点加入集合，依次找其最近的邻居）
- 不依赖于边E，适合边稠密的图，时间O(v*v)
5、最短路径
1、BFS算法：
- 单源最短路径：从一个顶点到其余各顶点的最短路径。
- 只适合于无权图。时间复杂度O(v*v)或O(v+e)。
2、Dijkstra算法：基于贪心策略
- 单源最短路径：从一个顶点到其余各顶点的最短路径。（画图找最小千万不要大意）
- 若求每对顶点最短路径，则O(n^3)
- 只适合无权图、有权图（不适合负权值的图）时间O(n*2)
3、Floyd算法：
- 求各顶点之间的最短路径
- 适用于无权图、有权图、负权值的图。时间O(n*n*n)
4、判别有环：
深度优先搜索
广度优先搜索
关键路径
并查集：
1、有向无环图描述表达式：先将运算符的运算顺序在下面依次标记
然后将字母不重复地依次排开（不能出现重复的操作数顶点）
最后按照运算符顺序进行有向箭头连接
6、拓扑排序
1、拓扑排序性质：
- 强连通图不能进行拓扑排序。
- <a，b>表示活动a先于b活动进行，即不存在b到a边。
- 即使拓扑排序唯一，也无法确定该图（仅唯一但可能有多个指向）
- 若一个顶点有多个直接后继，则拓扑排序不唯一。
2、拓扑排序：
- 先选择一个没有前驱的顶点，输出它
- 再删除该顶点以及从该顶点出发的边（然后重复前两步）
3、逆拓扑排序：
- 先选择一个没有后继的顶点，输出它
- 再删除该顶点以及从到达该顶点的边（然后重复前两步）
4、关键路径：具有最大路径长度的路径
- 关键路径是以拓扑排序为基础的。
- 最迟时间：弧指向的顶点的时间减去弧所持续的时间。
- 只有当所有关键路径同时减少时才能缩短工期
