第5天:递归与动态规划深度解析 - 高频面试算法 & Java 实战
1. 递归 & 动态规划核心概念
1.1 递归(Recursion)
递归是一种通过函数调用自身 来解决问题的方法,通常用于分解大问题为子问题 。
关键点:
- 递归终止条件(Base Case)
- 递归关系(Recurrence Relation)
- 避免重复计算(记忆化或动态规划)
1.2 动态规划(Dynamic Programming, DP)
动态规划是一种优化递归的算法,核心思想是**"将问题分解为子问题,存储子问题的结果,以避免重复计算"**。
核心步骤:
- 定义状态(State):确定 dp 数组的含义。
- 状态转移方程(Transition):找到递推关系。
- 初始化(Initialization):确定基本情况。
- 遍历顺序(Order):自顶向下(递归)或自底向上(迭代)。
- 返回最终结果(Result)。
2. 高频算法题及 Java 代码实现
问题1:爬楼梯(Climbing Stairs)
问题描述
假设你正在爬楼梯。每次可以爬 1 或 2 个台阶,总共有 n
个台阶,问有多少种不同的爬楼方式?
示例
java
Input: n = 3
Output: 3
Explanation: (1,1,1), (1,2), (2,1)
解法1:递归(指数时间复杂度 O(2ⁿ))
java
public int climbStairs(int n) {
if (n <= 2) return n;
return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
}
解法2:记忆化递归(O(n) 时间 & O(n) 空间)
java
public int climbStairs(int n, Map<Integer, Integer> memo) {
if (n <= 2) return n;
if (memo.containsKey(n)) return memo.get(n);
int result = climbStairs(n - 1, memo) + climbStairs(n - 2, memo);
memo.put(n, result);
return result;
}
解法3:动态规划(O(n) 时间 & O(n) 空间)
java
public int climbStairs(int n) {
if (n <= 2) return n;
int[] dp = new int[n + 1];
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
}
return dp[n];
}
解法4:斐波那契优化(O(n) 时间 & O(1) 空间)
java
public int climbStairs(int n) {
if (n <= 2) return n;
int prev1 = 1, prev2 = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int temp = prev1 + prev2;
prev1 = prev2;
prev2 = temp;
}
return prev2;
}
问题2:打家劫舍(House Robber)
问题描述
你是一个专业的盗贼,计划抢劫一条街上的房屋,每间房屋存有一定现金。如果两间相邻的房屋被盗 ,警报会触发。
问:如何偷取到最多的钱?
示例
java
Input: nums = [2,7,9,3,1]
Output: 12
Explanation: 选择 2 + 9 + 1 = 12,而不是 7 + 3 = 10。
解法1:递归(O(2ⁿ))
java
public int rob(int[] nums) {
return robHelper(nums, nums.length - 1);
}
private int robHelper(int[] nums, int i) {
if (i < 0) return 0;
return Math.max(robHelper(nums, i - 1), nums[i] + robHelper(nums, i - 2));
}
解法2:动态规划(O(n) 时间 & O(n) 空间)
java
public int rob(int[] nums) {
if (nums.length == 0) return 0;
int[] dp = new int[nums.length + 1];
dp[0] = 0;
dp[1] = nums[0];
for (int i = 2; i <= nums.length; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 1], nums[i - 1] + dp[i - 2]);
}
return dp[nums.length];
}
解法3:空间优化(O(n) 时间 & O(1) 空间)
java
public int rob(int[] nums) {
if (nums.length == 0) return 0;
int prev1 = 0, prev2 = 0;
for (int num : nums) {
int temp = Math.max(prev1, num + prev2);
prev2 = prev1;
prev1 = temp;
}
return prev1;
}
问题3:最长公共子序列(Longest Common Subsequence, LCS)
问题描述
给定两个字符串 text1
和 text2
,求它们的最长公共子序列的长度。
示例
java
Input: text1 = "abcde", text2 = "ace"
Output: 3
Explanation: 最长公共子序列是 "ace"
解法1:递归(指数时间复杂度 O(2ⁿ))
java
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
return lcsHelper(text1, text2, text1.length(), text2.length());
}
private int lcsHelper(String text1, String text2, int m, int n) {
if (m == 0 || n == 0) return 0;
if (text1.charAt(m - 1) == text2.charAt(n - 1))
return 1 + lcsHelper(text1, text2, m - 1, n - 1);
else
return Math.max(lcsHelper(text1, text2, m - 1, n), lcsHelper(text1, text2, m, n - 1));
}
解法2:动态规划(O(m * n))
java
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
int m = text1.length(), n = text2.length();
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
for (int i = 1; i <= m; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1))
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
else
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
return dp[m][n];
}
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