图像处理中的傅里叶变换
1. 图像的空间域 vs 频率域
- 空间域（Spatial Domain）：图像由像素点构成，每个像素值表示亮度或颜色。
- 频率域（Frequency Domain） ：表示图像的不同频率分量。
- 低频（Low Frequency）：大尺度结构，平滑区域。
- 高频（High Frequency）：边缘、纹理等细节。
傅里叶变换的作用是：将图像分解成不同频率的分量，类似于把一张图像看成由不同频率的正弦波叠加而成。
煮啵讲一下自己的理解：
傅里叶变换可以看做是对图像数据的重新组织，将数据从空间域的展示形式转换到频率域的形式。如果不好理解，这样想，煮啵很喜欢吃的一道菜叫土豆丝（尤其是老妈炒的微微糊的，香迷糊了！！！），如果把一幅图像比作为一盘炒好的土豆丝，那么傅里叶变换就是找出这盘土豆丝的配料（土豆丝，蒜瓣，盐，耗油，醋等等）。这个方法(傅里叶变换)的神奇之处就在于不管这道菜是怎么做的（分别放还是大乱炖）都能将配料清晰的分辨出来。在图像处理中，配料的种类按频率进行划分。有的是高频信息，有的是低频信息。低频信息一般是整幅图像的基础，就像一道菜的主料。在土豆丝中，低频信息可以看做是土豆丝的大致形状和轮廓。高频信息是指变动比较大的，表达这道菜特点的信息，有点像配料和调料。关于低频信息和高频信息的用处： 如果现在的任务是给出一盘炒土豆丝，问这盘菜是谁做的做的，那么盘子里的数量众多的土豆丝不一定能帮助我们找到厨师，而其中佐料的分量更有助于我们找出厨师的做菜风格。当然，这里我们假设厨师有自己的风格，且正常发挥没有失误。如果我们想知道这是一道什么菜，低频信息的代表一一蒜爆还是葱爆，醋的量，耗油的量就变得十分重要了，所以在上面的两个问题中，低频和高频信息、都有可能十分重要。当然傅立叶变换及频域信息、分析显然没有上面说的这么简单，更多的细节还需要更多知识和更深入地分析，这里只是"抛砖"作个引子。
2. 二维傅里叶变换（2D-FT）
傅里叶变换的公式如下：
F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π ( u x M + v y N ) F(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x, y) e^{-j 2\pi \left( \frac{ux}{M} + \frac{vy}{N} \right)} F(u,v)=x=0∑M−1y=0∑N−1f(x,y)e−j2π(Mux+Nvy)
其中：
- f ( x , y ) f(x, y) f(x,y) 是空间域的图像。
- F ( u , v ) F(u, v) F(u,v) 是频率域的表示。
- ( x , y ) (x, y) (x,y) 是空间坐标， ( u , v ) (u, v) (u,v) 是频率坐标。
逆傅里叶变换（IFT）：
f ( x , y ) = 1 M N ∑ u = 0 M − 1 ∑ v = 0 N − 1 F ( u , v ) e j 2 π ( u x M + v y N ) f(x, y) = \frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u, v) e^{j 2\pi \left( \frac{ux}{M} + \frac{vy}{N} \right)} f(x,y)=MN1u=0∑M−1v=0∑N−1F(u,v)ej2π(Mux+Nvy)
这表明可以从频率域恢复原始图像。
3. 频谱图的特点
- 低频成分集中在中心，表示大致轮廓。
- 高频成分分布在四周，表示细节和边缘。
傅里叶变换结果是复数 ，我们通常查看其幅度谱：
∣ F ( u , v ) ∣ = Re 2 + Im 2 |F(u, v)| = \sqrt{\operatorname{Re}^2 + \operatorname{Im}^2} ∣F(u,v)∣=Re2+Im2
为了更清晰可视化，一般采用对数变换：
log ( 1 + ∣ F ( u , v ) ∣ ) \log(1 + |F(u, v)|) log(1+∣F(u,v)∣)
4. 傅里叶变换的应用
(1) 低通滤波（去噪，平滑）
- 目标：去除高频信息，使图像变得平滑。
- 方法：在频域中保留低频成分，抑制高频。
应用：
- 去除高频噪声（如 JPEG 压缩噪声）。
- 进行模糊处理（如高斯模糊）。
(2) 高频增强（边缘检测）
- 目标：保留图像的边缘和纹理信息，提高清晰度。
- 方法：在频域中保留高频，抑制低频。
应用：
- 提高图像锐度（如拉普拉斯锐化）。
- 进行边缘检测（如 Sobel、Canny 算子）。
(3) 图像压缩
- 目标：减少数据存储量，保留主要信息。
- 方法：去掉频率域中对图像贡献较小的部分。
应用：
- JPEG 压缩：使用离散余弦变换（DCT），只保留低频信息。
(4) 去除周期性噪声
- 目标：去掉特定频率的噪声，如扫描图像中的条纹。
- 方法：在频域中找到噪声对应的频率点，并滤除。
应用：
- 复印件/扫描件去除条纹。
- 医学图像去除周期性伪影。
5. 结论
- 傅里叶变换将图像从空间域转换到频率域，分析图像的频率组成。
- 在频域中可以应用滤波 （如低通、高通、带通），然后通过逆变换恢复图像。
- 常见应用：去噪、边缘检测、图像压缩、医学影像分析等。
傅里叶变换提供了一种**从"局部像素变化"到"全局频率分布"**的视角，使我们能更灵活地处理图像信息。