[NOIP 1999 提高组] 导弹拦截

题目链接：

线性DP代码（O(n^2)时间复杂度）：

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#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e5+10;

int n = 0;
int arr[N];
int dp[N];
vector<int> q;

signed main(){
    int x;
    while(cin >> x) arr[++n] = x;
    
    //找到最大不上升序列
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        dp[i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j++){
            if(arr[j] >= arr[i]){
                dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
            }
        }
    }
    
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) ans = max(ans, dp[i]);
    
    //找到需要几套系统
    q.push_back(50010);
    
    for(int i = 1; i<= n; i++){
        bool check = false;
        for(int j = 0; j < q.size();j++){
            if(q[j] >= arr[i]){
                q[j] = arr[i];
                check = true;
                break;
            }
        }
        if(!check) q.push_back(arr[i]);
    }
    cout << ans << endl << q.size() << endl;
    return 0;
}

贪心+二分思路优化：

①题目要求我们求出最长不上升子序列，当序列每个数字都选择当前最大的时候（符合不上升规则），那么得出的序列就是最长的不上升子序列。

②我们用 g[i] 数组来记录长度为i的子序列结尾最后一个数字是谁。g[]数组记录的是最长不上升子序列长度，不记录最长不上升子序列的具体数字。枚举数组 arr[] ，当 arr[i] <= g[i]的时候，将arr[i] 添加到g[i+1]中；当 arr[i] > g[i]，要在 g[] 数组中找到最后一个大于 arr[i] 的数字，更新 g[r] 的最大值为 arr[i]。

③这道题是求的是降序的最长子序列，容易搞错二分条件。要明白 g[] 数组的含义。

贪心+二分代码：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e5+10;

int arr[N]; //存数据
//len为g[]的长度， g[i]存的是长度为i序列，最后一个字母是谁?
//g[]数组不存最长不上升子序列，记录的是长度
int len = 1, g[N], p;

signed main(){
    //读入数据
    int k;
    while(cin >> k) arr[++p] = k;
    
    //对g初始化
    g[1] = arr[1];
    for(int i = 2; i <= p; i++){
        if(g[len] >= arr[i]){
            g[++len] = arr[i];
        }
        else{
            //在有序数组g[]中查找最后一个大于arr[i]的数字 返回r
            int l = 0, r = len+1;
            while(l+1 < r){
                int mid = (l+r) / 2;
                if(g[mid] >= arr[i]){
                    l = mid;
                }
                else r = mid;
            }
            g[r] = arr[i];
        }
    }
    
    //找到需要几套系统
    vector<int> q; q.push_back(arr[1]);
    for(int i = 2; i <= p; i++){
        int check = false;
        for(int j = 0; j < (int)q.size(); j++){
            if(q[j]  >= arr[i]){
                q[j] = arr[i];
                check = true;
                break;
            }
        }
        if(!check){
            q.push_back(arr[i]);
        }
    }
    
    cout << len << endl << q.size() << endl;
    return 0;
}