LeetCode动态规划经典题：Unique Paths 网格路径计数详解

这道题是典型的动态规划入门题，非常适合练习二维 DP 的建模思路。leetcode+1

题目概述

在一个 m×n 的网格上，有一个机器人从左上角 (0,0) 出发，只能向右或向下移动一步。leetcode

目标是到达右下角 (m−1,n−1)，要求计算一共有多少条不同的路径。leetcode

约束：1≤m,n≤100，测试数据保证答案不超过 2×10^9。leetcode

动态规划建模

状态定义 ：令 dp $i$ $j$ 表示从起点 (0,0) 走到格子 (i,j) 的不同路径数量。leetcode

状态含义：每个格子只可能从上方 (i-1,j) 或左方 (i,j-1) 走到，因此到达当前格子的路径数等于来自这两个方向路径数之和。leetcode+1

状态初始化

起点：dp $0$ $0$ = 1，表示机器人一开始就在这个格子上，只有 1 种方式"到达"自己。leetcode

第一行 ：对于 i = 0, j > 0，由于只能向右走，所以 dp $0$ $j$ = dp $0$ $j - 1$ 。leetcode

第一列 ：对于 j = 0, i > 0，由于只能向下走，所以 dp $i$ $0$ = dp $i - 1$ $0$ 。leetcode

在代码中，这些初始化逻辑是通过统一的循环和条件分支实现的，而不是单独写两层专门初始化第一行第一列：

c 复制代码

dp[0][0] = 1;

for (i = 0; i < m; i++) {
    for (j = 0; j < n; j++) {
        if (i == 0 && j == 0)
            continue;
        if (i == 0)
            dp[i][j] = dp[i][j - 1];
        else if (j == 0)
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
    }
}

状态转移方程

对于一般位置 (i, j) 且 i > 0, j > 0：

dp $i$ $j$ =dp $i-1$ $j$ +dp $i$ $j-1$

对于第一行：

dp $j$ =dp $j-1$

对于第一列：

dp $i$ =dp $i-1$

用一句话概括：到达当前格子的路径数 = 来自上方的路径数 + 来自左方的路径数。leetcode

完整实现与返回值

使用 m * n 的二维数组 dp 存储所有状态，先用 malloc 分配空间并初始化为 0。leetcode

填表顺序：外层遍历行 i，内层遍历列 j，根据上面规则更新 dp $i$ $j$ 。leetcode

最终答案是右下角格子的状态值：dp $m - 1$ $n - 1$ 。leetcode

代码中将该值保存到 result，然后释放二维数组内存，最后 return result：

c 复制代码

result = dp[m - 1][n - 1];

for (i = 0; i < m; i++)
    free(dp[i]);
free(dp);

return result;

复杂度与优化思路

时间复杂度 ：每个格子只被计算一次，共 m×n 个格子，所以是 O(mn)。leetcode

空间复杂度 ：使用 m * n 的二维数组存储 dp 状态，空间复杂度为 O(mn)。leetcode

优化方向 ：由于每次转移只依赖当前行和上一行（或当前列和上一列），可以进一步使用一维数组实现空间优化到 O(n) 或 O(m)，这是常见的 follow-up。虽然当前版本使用的是二维 dp，但逻辑上已经为一维优化打下基础。leetcode

这篇博客从题意、状态设计到代码实现和复杂度分析，完整展示了如何用二维动态规划解决 Unique Paths 这类网格路径计数问题。通过这道题，可以系统地练习：如何定义状态、如何写出清晰的 base case、以及如何把转移关系翻译成代码。leetcode+1