算法奇妙屋(二十二)-01背包问题(动态规划)

一. 牛客【模板】01背包

1. 题目解析

背包问题我们可以理解为游戏里拾取装备, 比如三角洲这种, 一个背包有固定空间, 地图上散落一堆道具, 道具有体积, 重量, 价值等等属性, 而我们要做的就是用有限的背包空间来达到拾取道具价值的最大化, 因为道具和背包可以被划分的属性很多, 所以背包问题有很多变种类型, 其中01背包🎒则是最基础最重要的一个模版
这道题是ACM模式, 需要自己处理输入输出和导包

2. 算法原理

本道题有两问,所以我们分为两次算法原理的图解
第一问图解

第二问图解

3. 代码

java 复制代码

import java.util.*;

public class Main {
    public static Scanner in = new Scanner(System.in);
    public static void main(String[] args) {
        // 获取物品个数和体积
        int n = in.nextInt();
        int V = in.nextInt();
        // 建表
        int[] v = new int[n + 1];
        int[] w = new int[n + 1];
        int[][] dp = new int[n + 1][V + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            v[i] = in.nextInt();
            w[i] = in.nextInt();
        }
        func1(n, V, v, w, dp);
        func2(n, V, v, w, dp);
    }
    static void func1(int n, int V, int[] v, int[] w, int[][] dp) {
        // 填表
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= V; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (j >= v[i]) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
                }
            }
        }
        // 打印结果
        System.out.println(dp[n][V]);
    }
    static void func2(int n, int V, int[] v, int[] w, int[][] dp) {
        // 初始化dp表
        for (int j = 1; j <= V; j++) {
            dp[0][j] = -1;
        }
        // 填表
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= V; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (j >= v[i] && dp[i - 1][j - v[i]] != -1) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
                }
            }
        }
        // 打印结果
        System.out.println(dp[n][V] == -1 ? 0 : dp[n][V]);
    }
}

4. 优化

使用滚动数组来进行空间和时间上的优化

5. 优化后的代码

java 复制代码

import java.util.*;

public class Main {
    public static Scanner in = new Scanner(System.in);
    public static void main(String[] args) {
        // 获取物品个数和体积
        int n = in.nextInt();
        int V = in.nextInt();
        // 建表
        int[] v = new int[n + 1];
        int[] w = new int[n + 1];
        int[] dp = new int[V + 1];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            v[i] = in.nextInt();
            w[i] = in.nextInt();
        }
        func1(n, V, v, w, dp);
        func2(n, V, v, w, dp);
    }
    static void func1(int n, int V, int[] v, int[] w, int[] dp) {
        // 填表
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = V; j >= v[i]; j--) { // 这里改成 j >= v[i] 可以减少时间复杂度
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
        // 打印结果
        System.out.println(dp[V]);
    }
    static void func2(int n, int V, int[] v, int[] w, int[] dp) {
        // 初始化dp表
        for (int j = 1; j <= V; j++) {
            dp[j] = -1;
        }
        // 填表
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = V; j >= v[i]; j--) {
                if (dp[j - v[i]] != -1) {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - v[i]] + w[i]);
                }
            }
        }
        // 打印结果
        System.out.println(dp[V] == -1 ? 0 : dp[V]);
    }
}

二. 力扣 416. 分割等和子集

1. 题目解析

2. 算法原理

刚开始我在想, 为什么不用计算总和, 只用true和false就能表示总和, 后来当我想到是空间1遍历到j的, 意味着 $0,i$ 区间选法的总和是以布尔形式表示了, 自此又进一步懂了一些

3. 代码

java 复制代码

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        // 建表   求和
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        for (int x : nums) {
            sum += x;
        }
        if (sum % 2 == 1) {
            return false;
        }
        int k = sum / 2;
        boolean[][] dp = new boolean[n + 1][k + 1];
        // 初始化
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            dp[i][0] = true;
        }
        // 填表
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= k; j++) {
                if (dp[i - 1][j] || j >= nums[i - 1] && dp[i - 1][j - nums[i - 1]]) {
                    dp[i][j] = true;
                }
            }
        }
        return dp[n][k];
    }
}

4. 优化

因为这里和01背包的优化方式一样, 这里我们不过多赘述, 直接copy上面图片: ①删除行保留列 ②修改 j 的遍历顺序

5. 优化后的代码

java 复制代码

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        // 建表   求和
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        for (int x : nums) {
            sum += x;
        }
        if (sum % 2 == 1) {
            return false;
        }
        int k = sum / 2;
        boolean[] dp = new boolean[k + 1];
        // 初始化
        dp[0] = true;
        // 填表
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = k; j >= nums[i - 1]; j--) {
                if (dp[j - nums[i - 1]]) {
                    dp[j] = true;
                }
            }
        }
        return dp[k];
    }
}

三. 力扣 494. 目标和

1. 题目解析

2. 算法原理

与01背包原理相似

3. 代码

java 复制代码

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        // 建表
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        for (int x : nums) {
            sum += x;
        }
        int a = (target + sum) / 2;
        if ((target + sum) % 2 == 1 || a < 0) {
            return 0;
        }
        int[][] dp = new int[n + 1][a + 1];
        // 初始化
        dp[0][0] = 1;
        // 填表
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= a; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (j >= nums[i - 1]) {
                    dp[i][j] += dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
                }
            }
        }
        return dp[n][a];
    }
}

4. 优化代码

优化原理仍是滚动数组, 将行删除, j 的遍历顺序改变, 这里就直接上代码

java 复制代码

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        // 建表
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        for (int x : nums) {
            sum += x;
        }
        int a = (target + sum) / 2;
        if ((target + sum) % 2 == 1 || a < 0) {
            return 0;
        }
        int[] dp = new int[a + 1];
        // 初始化
        dp[0] = 1;
        // 填表
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = a; j >= nums[i - 1]; j--) {
                dp[j] += dp[j - nums[i - 1]];
            }
        }
        return dp[a];
    }
}

四. 力扣 1049. 最后一块石头的重量 II

1. 题目解析

这道题最难的就是向01背包问题转化的过程

2. 算法原理

算法原理和01背包模版基本上一模一样, 这里简单回顾下

3. 代码

java 复制代码

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        // 建表,初始化,求和
        int n = stones.length;
        int sum = 0;
        for (int x : stones) {
            sum += x;
        }
        int aim = sum / 2;
        int[][] dp = new int[n + 1][aim + 1];
        // 填表
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= aim; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                if (j >= stones[i - 1]) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - stones[i - 1]] + stones[i - 1]);
                }
            }
        }
        // 返回结果
        return sum - dp[n][aim] * 2;
    }
}

4. 优化后的代码

依旧是删除行, j的遍历顺序颠倒过来

java 复制代码

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
        // 建表,初始化,求和
        int n = stones.length;
        int sum = 0;
        for (int x : stones) {
            sum += x;
        }
        int aim = sum / 2;
        int[] dp = new int[aim + 1];
        // 填表
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = aim; j >= stones[i - 1]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - stones[i - 1]] + stones[i - 1]);
            }
        }
        // 返回结果
        return sum - dp[aim] * 2;
    }
}

算法奇妙屋(二十二)-01背包问题(动态规划)

一. 牛客 【模板】01背包

1. 题目解析

2. 算法原理

3. 代码

4. 优化

5. 优化后的代码

二. 力扣 416. 分割等和子集

1. 题目解析

2. 算法原理

3. 代码

4. 优化

5. 优化后的代码

三. 力扣 494. 目标和

1. 题目解析

2. 算法原理

3. 代码

4. 优化代码

四. 力扣 1049. 最后一块石头的重量 II

1. 题目解析

2. 算法原理

3. 代码

4. 优化后的代码

一. 牛客【模板】01背包