在MIMO系统中，预编码（发送端处理）和检测算法（接收端处理）的核心公式及其作用对比如下：
1. 预编码算法（发送端）
预编码的目标是通过对发送信号进行预处理，优化空间复用或分集增益，并抑制干扰（如多用户干扰）。以下是典型预编码算法的公式：
(1) 奇异值分解（SVD）预编码
- 适用场景：单用户MIMO（点对点通信）。
- 公式：
- 对信道矩阵 H \mathbf{H} H 进行SVD分解：
H = U Σ V H \mathbf{H} = \mathbf{U} \mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^H H=UΣVH
其中 U \mathbf{U} U 和 V \mathbf{V} V 为酉矩阵， Σ \mathbf{\Sigma} Σ 为奇异值矩阵。 - 预编码矩阵取 V \mathbf{V} V 的前 N s N_s Ns 列（ N s N_s Ns 为数据流数）：
P = V : , 1 : N s \mathbf{P} = \mathbf{V}_{:,1:N_s} P=V:,1:Ns - 接收端匹配滤波： U H \mathbf{U}^H UH。
- 对信道矩阵 H \mathbf{H} H 进行SVD分解：
- 效果：将信道分解为并行独立子信道，无需接收端复杂检测。
(2) 迫零（ZF）预编码
- 适用场景：多用户MIMO下行链路（消除用户间干扰）。
- 公式：
P = H H ( H H H ) − 1 \mathbf{P} = \mathbf{H}^H (\mathbf{H} \mathbf{H}^H)^{-1} P=HH(HHH)−1- 若用户数为 K K K， H \mathbf{H} H 为 K × N t K \times N_t K×Nt 信道矩阵（ N t N_t Nt 为发送天线数）。
- 效果：完全消除用户间干扰，但放大噪声（尤其在信道病态时）。
(3) 最小均方误差（MMSE）预编码
- 适用场景：平衡干扰消除与噪声增强。
- 公式：
P = H H ( H H H + K σ n 2 P I ) − 1 \mathbf{P} = \mathbf{H}^H \left( \mathbf{H} \mathbf{H}^H + \frac{K \sigma_n^2}{P} \mathbf{I} \right)^{-1} P=HH(HHH+PKσn2I)−1- σ n 2 \sigma_n^2 σn2 为噪声功率， P P P 为发送总功率。
- 效果：在干扰抑制和噪声放大间取得平衡。
(4) 正则化迫零（RZF）预编码
- 改进ZF：引入正则化参数 α \alpha α 缓解矩阵病态问题。
- 公式：
P = H H ( H H H + α I ) − 1 \mathbf{P} = \mathbf{H}^H (\mathbf{H} \mathbf{H}^H + \alpha \mathbf{I})^{-1} P=HH(HHH+αI)−1- 典型选择： α = K σ n 2 P \alpha = \frac{K \sigma_n^2}{P} α=PKσn2。
2. 检测算法（接收端）
检测算法的目标是从接收信号中恢复发送符号，抑制干扰和噪声。以下是典型检测算法的公式：
(1) 迫零（ZF）检测
- 公式：
s ^ = ( H H H ) − 1 H H y \hat{\mathbf{s}} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^H \mathbf{y} s^=(HHH)−1HHy- y = H s + n \mathbf{y} = \mathbf{H} \mathbf{s} + \mathbf{n} y=Hs+n 为接收信号。
- 缺点：噪声放大（与ZF预编码类似）。
(2) 最小均方误差（MMSE）检测
- 公式：
s ^ = ( H H H + σ n 2 I ) − 1 H H y \hat{\mathbf{s}} = \left( \mathbf{H}^H \mathbf{H} + \sigma_n^2 \mathbf{I} \right)^{-1} \mathbf{H}^H \mathbf{y} s^=(HHH+σn2I)−1HHy - 优点：通过噪声功率 σ n 2 \sigma_n^2 σn2 抑制噪声增强。
(3) 最大似然（ML）检测
- 最优性能：穷举所有可能的发送符号组合，最小化误差：
s ^ = arg min s ∈ S ∥ y − H s ∥ 2 \hat{\mathbf{s}} = \arg \min_{\mathbf{s} \in \mathcal{S}} \| \mathbf{y} - \mathbf{H} \mathbf{s} \|^2 s^=args∈Smin∥y−Hs∥2- S \mathcal{S} S 为符号星座集合。
- 缺点：复杂度随天线数和调制阶数指数增长（ O ( M N s ) O(M^{N_s}) O(MNs)， M M M 为调制阶数）。
(4) 线性均衡（LE）与干扰消除
- 线性均衡：广义ZF/MMSE检测。
- 非线性方法（如SIC）：
- V-BLAST算法：逐层检测并消除已检测符号的干扰。
- 公式（MMSE-SIC）：
s ^ i = Decode ( y i − ∑ j = 1 i − 1 h j s ^ j ) \hat{s}i = \text{Decode}\left( y_i - \sum{j=1}^{i-1} h_j \hat{s}_j \right) s^i=Decode(yi−j=1∑i−1hjs^j)
其中 h j h_j hj 为信道矩阵列向量。
3. 预编码与检测算法的对比
| 算法类型 | 核心公式 | 目标 | 复杂度 | 适用场景 |
|---|---|---|---|---|
| SVD预编码 | P = V : , 1 : N s \mathbf{P} = \mathbf{V}_{:,1:N_s} P=V:,1:Ns | 最大化单用户容量 | O ( N t 3 ) O(N_t^3) O(Nt3) | 单用户MIMO |
| ZF预编码 | P = H H ( H H H ) − 1 \mathbf{P} = \mathbf{H}^H (\mathbf{H} \mathbf{H}^H)^{-1} P=HH(HHH)−1 | 消除多用户干扰 | O ( K 3 ) O(K^3) O(K3) | 多用户MIMO下行 |
| MMSE预编码 | P = H H ( H H H + K σ n 2 P I ) − 1 \mathbf{P} = \mathbf{H}^H \left( \mathbf{H} \mathbf{H}^H + \frac{K \sigma_n^2}{P} \mathbf{I} \right)^{-1} P=HH(HHH+PKσn2I)−1 | 平衡干扰与噪声 | O ( K 3 ) O(K^3) O(K3) | 中低信噪比多用户场景 |
| ZF检测 | s ^ = ( H H H ) − 1 H H y \hat{\mathbf{s}} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^H \mathbf{y} s^=(HHH)−1HHy | 消除干扰（噪声放大） | O ( N r 3 ) O(N_r^3) O(Nr3) | 高信噪比接收端 |
| MMSE检测 | s ^ = ( H H H + σ n 2 I ) − 1 H H y \hat{\mathbf{s}} = \left( \mathbf{H}^H \mathbf{H} + \sigma_n^2 \mathbf{I} \right)^{-1} \mathbf{H}^H \mathbf{y} s^=(HHH+σn2I)−1HHy | 抑制噪声与干扰 | O ( N r 3 ) O(N_r^3) O(Nr3) | 通用接收场景 |
| ML检测 | s ^ = arg min s ∈ S ∣ y − H s ∣ 2 \hat{\mathbf{s}} = \arg \min_{\mathbf{s} \in \mathcal{S}} | \mathbf{y} - \mathbf{H} \mathbf{s} |^2 s^=argmins∈S∣y−Hs∣2 | 最优性能 | O ( M N s ) O(M^{N_s}) O(MNs) | 小规模MIMO（如2x2 QPSK） |
4. 关键区别与协同关系
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预编码 vs. 检测的定位：
- 预编码：发送端主动优化信号空间分布（需CSI）。
- 检测：接收端被动补偿信道损伤（需CSI或盲估计）。
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复杂度分布：
- 预编码复杂度集中在发送端（基站），检测复杂度在接收端（终端）。
- 大规模MIMO中，预编码复杂度可能成为瓶颈（如ZF需大规模矩阵求逆）。
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联合设计案例：
- 多用户MIMO下行：基站用ZF预编码消除干扰，终端仅需简单解调。
- 上行链路：基站用MMSE检测分离用户信号，终端无需预编码。
5. 数学直观对比
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ZF预编码与ZF检测的对称性：
- ZF预编码： P = H H ( H H H ) − 1 \mathbf{P} = \mathbf{H}^H (\mathbf{H} \mathbf{H}^H)^{-1} P=HH(HHH)−1（发送端伪逆）。
- ZF检测： s ^ = ( H H H ) − 1 H H y \hat{\mathbf{s}} = (\mathbf{H}^H \mathbf{H})^{-1} \mathbf{H}^H \mathbf{y} s^=(HHH)−1HHy（接收端伪逆）。
- 本质相同：均通过信道矩阵伪逆消除干扰，但分别作用于发送端和接收端。
-
MMSE的噪声适应性：
- MMSE预编码/检测均引入噪声项（ σ n 2 \sigma_n^2 σn2），在高信噪比时退化为ZF。
6. 总结
- 预编码更适合主动控制干扰（尤其下行链路），但依赖精确CSI。
- 检测算法是被动恢复信号的最后防线，对不完美CSI更鲁棒。
- 实际系统设计需权衡：
- 预编码复杂度（如大规模MIMO中采用低复杂度RZF）。
- 接收端能力（终端是否支持高复杂度检测如ML）。
- 信令开销（CSI反馈频率与精度）。