图像处理中的 Gaussina Blur 和 SIFT 算法

Gaussina Blur 高斯模糊

高斯模糊的数学定义

高斯模糊是通过 高斯核(Gaussian Kernel) 对图像进行卷积操作实现的. 二维高斯函数定义为

\[G(x, y, \sigma) = \frac{1}{2\pi \sigma^2} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2\sigma^2}} \]

其中:

  • \((x, y)\) 是像素点的坐标
  • \(\sigma\) 是高斯核的标准差, 控制模糊程度\(\sigma\) 越大, 图像越模糊

高斯模糊计算的 Python 实现

以下是使用 OpenCV 计算不同尺度高斯模糊的代码

python 复制代码
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取图像
img = cv2.imread('00001.jpg', cv2.IMREAD_COLOR_RGB)

# 定义高斯核的尺度(σ值)
sigma_values = [1.0, 1.6, 2.0, 2.5, 3.0]  # 示例σ值

# 对每个σ值进行高斯模糊
blurred_images = []
for sigma in sigma_values:
    # 高斯核大小(通常根据σ自动计算,如 ksize=(0,0))
    blurred = cv2.GaussianBlur(img, (0, 0), sigmaX=sigma, sigmaY=sigma)
    blurred_images.append(blurred)

# 显示结果
plt.figure(figsize=(15, 8))
# 原图
plt.subplot(2, 3, 1)
plt.imshow(img)
plt.title('original')
plt.axis('off')
# 模糊处理过的图
for i, (sigma, blurred) in enumerate(zip(sigma_values, blurred_images)):
    plt.subplot(2, 3, i+2)
    plt.imshow(blurred, cmap='gray')
    plt.title(f'σ={sigma}')
    plt.axis('off')
plt.tight_layout()
plt.show()
  • cv2.GaussianBlur(img, ksize, sigmaX)
    • ksize=(0,0) 时, OpenCV 会根据 \(\sigma\) 自动计算核大小, 通常为 \(6\sigma + 1\)
    • sigmaXsigmaY 是高斯核在 X 和 Y 方向的标准差, 通常设为相同值

高斯核矩阵

在实际计算中, 高斯核需要离散化为一个二维矩阵. 例如, 当 \(\sigma = 1.0\) 时, 一个 3×3 的高斯核可能如下

\[K = \frac{1}{16} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

手动计算高斯核的示例

python 复制代码
import cv2
import numpy as np

# 生成二维高斯核
def gaussian_kernel(size, sigma):
    kernel = np.zeros((size, size))
    # // 是整数除法运算符, 会将结果向下取整到最接近的整数
    center = size // 2
    for x in range(size):
        for y in range(size):
            dx, dy = x - center, y - center
            kernel[x, y] = np.exp(-(dx**2 + dy**2) / (2 * sigma**2))
    kernel /= kernel.sum()  # 归一化
    return kernel

# 生成 σ=1.5 的 5x5 高斯核
kernel = gaussian_kernel(5, 1.5)
print(kernel)

矩阵中各元素的数值构成了一个三维高斯曲面, 中心点最高, 呈钟形向四周降低

SIFT(Scale-Invariant Feature Transform)算法

SIFT(Scale-Invariant Feature Transform)算法是一种用于图像处理中的局部特征提取方法, 具有尺度、旋转和光照不变性, 因为其结果稳定性和较高的精度在图像匹配中广泛应用. SIFT的缺点是计算复杂度较高, 在一些需要实时处理的场景被快速算法如SURF, ORB等替代. 在 COLMAP 中, 提取特征量和匹配基于的就是 SIFT 算法.

1. 尺度空间极值检测(Scale-Space Extrema Detection)

目的: 在多尺度空间中寻找关键点(潜在的特征点)

  • 构建高斯金字塔
    • 对图像进行不同尺度的高斯模糊(通过高斯卷积核 G(x,y,\\sigma) ), 生成多组(Octave)图像. 每组包含多层(Interval), 尺度按 k\\sigma 递增(如 \\sigma, k\\sigma, k\^2\\sigma ).
      • 不同尺度的高斯模糊是通过对图像应用不同标准差 \(\sigma\) 的高斯核进行卷积计算得到的
    • 下一组的图像由上一组降采样(如尺寸减半)得到.
  • 构建高斯差分金字塔(DoG)
    • 对同一组内相邻尺度的高斯图像相减, 得到 D(x,y,\\sigma) = L(x,y,k\\sigma) - L(x,y,\\sigma)
    • DoG用于近似拉普拉斯算子(LoG), 效率更高.
  • 检测极值点
    • 每个像素与同一层相邻的8个像素及上下相邻层的18个像素(共26个)比较, 判断是否为局部极大/极小值.

2. 关键点定位(Keypoint Localization)

目的: 精确定位关键点, 去除低对比度或边缘响应点

  • 泰勒展开精确定位
    • 通过泰勒展开拟合DoG函数, 找到极值点的亚像素级位置(偏移量 \\hat{x} )
    • \|D(\\hat{x})\| 小于阈值(如0.03), 则视为低对比度点, 剔除
  • 边缘响应剔除
    • 利用Hessian矩阵计算曲率, 剔除边缘响应强的点(主曲率比值大的点)
    • \\frac{\\text{Tr}(H)\^2}{\\text{Det}(H)} \> \\frac{(r+1)\^2}{r} (通常 r=10 ), 则剔除

3. 方向分配(Orientation Assignment)

目的: 将关键点方向归一化处理, 以实现旋转不变性

  • 计算梯度幅值和方向

    • 在关键点所在高斯尺度图像上, 计算邻域窗口内像素的梯度:

      \[m(x,y) = \sqrt{(L(x+1,y)-L(x-1,y))^2 + (L(x,y+1)-L(x,y-1))^2} \]

      \[\theta(x,y) = \tan^{-1}\left( \frac{L(x,y+1)-L(x,y-1)}{L(x+1,y)-L(x-1,y)} \right) \]

  • 生成方向直方图

    • 将360°分为36柱(每柱10°), 加权统计梯度幅值(权重为高斯窗口和梯度幅值).
    • 取主峰(最高峰值)和80%以上主峰的次峰作为关键点方向.

4. 关键点描述符(Descriptor Generation)

目的: 在方向归一化处理后, 通过划分子块生成关键点的特征向量

  • 旋转坐标轴: 将邻域窗口旋转至关键点主方向.
  • 划分子区域: 将16×16的窗口分为4×4的子块(共16块).
  • 计算子块梯度直方图 :
    • 每个子块内计算8方向的梯度直方图(共8维).
    • 16个子块 × 8方向 = 128维特征向量.
  • 归一化处理 :
    • 对特征向量归一化, 减少光照影响, 并截断大于0.2的值以增强鲁棒性.

5. 关键点匹配

  • 通过欧氏距离(如最近邻算法)比较两幅图像的SIFT描述符
  • 使用最近邻距离比(NNDR, 如 \\frac{d_1}{d_2} \< 0.8 )筛选匹配点, 提升匹配精度.

在Python代码中通过OpenCV使用SIFT算法

提取关键点

python 复制代码
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取图像(转为灰度图)
img = cv2.imread('00001.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 初始化 SIFT 检测器
sift = cv2.SIFT_create()

# 检测关键点并计算描述符
keypoints, descriptors = sift.detectAndCompute(img, None)

# 绘制关键点
img_with_keypoints = cv2.drawKeypoints(
    img, 
    keypoints, 
    None, 
    flags=cv2.DRAW_MATCHES_FLAGS_DRAW_RICH_KEYPOINTS
)

# 显示结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.imshow(img_with_keypoints, cmap='gray')
plt.title('SIFT Keypoints')
plt.axis('off')
plt.show()

双图关键点匹配

python 复制代码
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取两张图像
img1 = cv2.imread('00001.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
img2 = cv2.imread('00006.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 初始化 SIFT
sift = cv2.SIFT_create()

# 计算关键点和描述符
kp1, desc1 = sift.detectAndCompute(img1, None)
kp2, desc2 = sift.detectAndCompute(img2, None)

# 使用 BFMatcher(Brute-Force 匹配器)
bf = cv2.BFMatcher(cv2.NORM_L2, crossCheck=True)
matches = bf.match(desc1, desc2)

# 按距离排序,取最优匹配
matches = sorted(matches, key=lambda x: x.distance)

# 绘制前 50 个匹配点
matched_img = cv2.drawMatches(
    img1, kp1, 
    img2, kp2, 
    matches[:10], 
    None, 
    flags=cv2.DrawMatchesFlags_NOT_DRAW_SINGLE_POINTS
)

# 显示匹配结果
plt.figure(figsize=(15, 8))
plt.imshow(matched_img, cmap='gray')
plt.title('SIFT Feature Matching')
plt.axis('off')
plt.show()
相关推荐
啥都鼓捣的小yao1 小时前
利用C++编写操作OpenCV常用操作
开发语言·c++·opencv
西红柿土豆丶8 小时前
人脸考勤管理一体化系统(人脸识别系统,签到打卡)
python·深度学习·opencv·人脸识别·人脸识别系统·考勤管理系统·签到打卡
一大Cpp8 小时前
随笔1 认识编译命令
linux·opencv·ubuntu
巷9559 小时前
OpenCV轮廓检测全面解析:从基础到高级应用
人工智能·opencv·计算机视觉
欣然~10 小时前
OpenCV 在树莓派上进行实时人脸检测
人工智能·opencv·计算机视觉
秣厉科技12 小时前
【秣厉科技】LabVIEW工具包——OpenCV 教程(18):highgui 模块
科技·opencv·labview
www_pp_1 天前
# 基于 OpenCV 的人脸识别实战:从基础到进阶
人工智能·opencv·计算机视觉
蹦蹦跳跳真可爱5891 天前
Python----计算机视觉处理(Opencv:道路检测之车道线拟合)
开发语言·人工智能·python·opencv·计算机视觉
新知图书1 天前
OpenCV销毁窗口
人工智能·opencv·计算机视觉