[数据结构]图krusakl算法实现

Protein_zmm2025-04-08 16:21

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Kruskal算法

我们要在连通图中去找生成树
连通图 ：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。

生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边。也就是用最少的边（n-1条边）连通起来。

最小生成树：构成生成树的这些边加起来权值最小，也就是最小的成本让这N个顶点连通，最小生成树不唯一。

连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。

若连通图由n个顶点组成，则其生成树必含n个顶点和n-1条边。因此构造最小生成树的准则有三条：

  1. 只能使用图中的权值最小的边来构造最小生成树
  2. 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
  3. 选用的n-1条边不能构成回路

构造最小生成树的方法：Kruskal算法和Prim算法。这两个算法都采用了逐步求解的贪心策略。

贪心算法：是指在问题求解时，总是做出当前看起来最好的选择。也就是说贪心算法做出的不是整体最优的的选择，而是某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有的问题都能得到整体最优解。

Kruskal算法和Prim算法求出来的一定是最优解吗？------不一定

因此要选出最小的边，然后进行连接

在这里判定是否成环的关键是并查集

代码实现：

cpp 复制代码 
W Kruskal(Self& minTree)
{
	minTree._vertexs = _vertexs;
	minTree._indexMap = _indexMap;
	minTree._matrix.resize(_vertexs.size());
	for (auto& e : minTree._matrix)
	{
		e.resize(_vertexs.size(), MAX_W);
	}


	// 先根据边的权值进行排序
	priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> pq;
	for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
	{
		for (size_t j = 0; j < _vertexs.size(); ++j)
		{
			if (i < j && _matrix[i][j] != MAX_W)
			{
				// pq.push(_matrix[i][j]); 不是这样
				pq.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));
			}
		}
	}
	W total = W();
	size_t i = 1; // 最初有一个顶点
	// 从最小的边开始进行选择（贪心）
	UnionFindSet ufs(_vertexs.size());
	while (i < _vertexs.size() && !pq.empty())
	{
		Edge min = pq.top();
		pq.pop();

		// 判断是否会构成一个回路，不会则添加到最小生成树中
		if (ufs.FindRoot(min._srci) != ufs.FindRoot(min._dsti))
		{
			cout << _vertexs[min._srci] << "-" << _vertexs[min._dsti] << ":" << _matrix[min._srci][min._dsti] << endl;
			minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti, min._w);
			total += min._w;
			ufs.Union(min._srci, min._dsti);
			++i;
		}
	}
	if (i == _vertexs.size())
	{
		return total;
	}
	else
	{
		return W();
	}
}

完整代码：

cpp 复制代码 
namespace matrix // 领接矩阵存储
{
	template <class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false> // Vertex, Weight, Direction表示有向图还是无向图
	class Graph
	{
		typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self; // 表示子图
	public:
		Graph()
		{}

		Graph(const V* vertex, size_t n)
		{
			_vertexs.reserve(n);
			for (size_t i = 0; i < n; ++i)
			{
				_vertexs.push_back(vertex[i]);
				_indexMap[vertex[i]] = i; // map<V, int>second存的是对应的编号
			}

			_matrix.resize(n);
			for (int i = 0; i < n; ++i)
			{
				_matrix[i].resize(n, MAX_W);
			}
		}
		
		size_t GetVertexIndex(const V& v)
		{
			auto ret = _indexMap.find(v);
			if (ret != _indexMap.end())
			{
				return ret->second;
			}
			else
			{
				assert(false);
				return -1;
			}
		}

		void AddEdge(const V& src, const V& dst, const W& w)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
			_AddEdge(srci, dsti, w);
		}
		
		void _AddEdge(size_t srci, size_t dsti, const W& w)
		{
			_matrix[srci][dsti] = w;
			if (Direction == false)
			{
				_matrix[dsti][srci] = w;
			}
		}

		void Print()
		{
			// 顶点
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				cout << "[" << i << "]" << "->" << _vertexs[i] << endl;
			}
			cout << endl;

			// 矩阵
			// 横下标
			cout << "  ";
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				//cout << i << " ";
				printf("%4d", i);
			}
			cout << endl;

			for (size_t i = 0; i < _matrix.size(); ++i)
			{
				cout << i << " "; // 竖下标
				for (size_t j = 0; j < _matrix[i].size(); ++j)
				{
					//cout << _matrix[i][j] << " ";
					if (_matrix[i][j] == MAX_W)
					{
						//cout << "* ";
						printf("%4c", '*');
					}
					else
					{
						//cout << _matrix[i][j] << " ";
						printf("%4d", _matrix[i][j]);
					}
				}
				cout << endl;
			}
			cout << endl;
		}

		void BFS(const V& src)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);

			// 队列和标记数组
			queue<int> q;
			vector<bool> visited(_vertexs.size(), false); // 标记数组
			int levelSize = 1; // 保证一层 一层的打印
			q.push(srci);
			visited[srci] = true;

			size_t n = _vertexs.size();
			while (!q.empty())
			{
				for (int i = 0; i < levelSize; ++i)
				{
					int front = q.front();
					q.pop();
					cout << front << ":" << _vertexs[front] << " ";
					// 把front顶点的邻接顶点入队列
					for (size_t i = 0; i < n; ++i)
					{
						if (_matrix[front][i] != MAX_W) // 不是无穷大就是相连的
						{
							if (visited[i] == false)
							{
								q.push(i);
								visited[i] = true;
							}
						}
					}
				}
				cout << endl;
				levelSize = q.size(); // 下一层的数据个数
			}
			cout << endl;
		}

		void _DFS(size_t srci, vector<bool> visited)
		{
			cout << srci << ":" << _vertexs[srci] << endl;
			visited[srci] = true;
			// 找srci相邻的没有访问过的点，深度遍历
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] = false)
				{
					_DFS(i, visited);
				}
			}
		}

		void DFS(const V& src)
		{
			size_t srci = GetVertexIndex(src);
			vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);
			_DFS(srci, visited);
		}

		struct Edge
		{
			size_t _srci;
			size_t _dsti;
			W _w;

			Edge(size_t srci, size_t dsti, const W& w)
				: _srci(srci)
				, _dsti(dsti)
				, _w(w)
			{}

			bool operator>(const Edge& e) const
			{
				return _w > e._w;
			}
		};

		W Kruskal(Self& minTree)
		{
			minTree._vertexs = _vertexs;
			minTree._indexMap = _indexMap;
			minTree._matrix.resize(_vertexs.size());
			for (auto& e : minTree._matrix)
			{
				e.resize(_vertexs.size(), MAX_W);
			}


			// 先根据边的权值进行排序
			priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> pq;
			for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
			{
				for (size_t j = 0; j < _vertexs.size(); ++j)
				{
					if (i < j && _matrix[i][j] != MAX_W)
					{
						// pq.push(_matrix[i][j]); 不是这样
						pq.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));
					}
				}
			}
			W total = W();
			size_t i = 1; // 最初有一个顶点
			// 从最小的边开始进行选择（贪心）
			UnionFindSet ufs(_vertexs.size());
			while (i < _vertexs.size() && !pq.empty())
			{
				Edge min = pq.top();
				pq.pop();

				// 判断是否会构成一个回路，不会则添加到最小生成树中
				if (ufs.FindRoot(min._srci) != ufs.FindRoot(min._dsti))
				{
					cout << _vertexs[min._srci] << "-" << _vertexs[min._dsti] << ":" << _matrix[min._srci][min._dsti] << endl;
					minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti, min._w);
					total += min._w;
					ufs.Union(min._srci, min._dsti);
					++i;
				}
			}
			if (i == _vertexs.size())
			{
				return total;
			}
			else
			{
				return W();
			}
		}

	private:
		vector<V> _vertexs; // 顶点集合
		map<V, int> _indexMap; // 顶点映射下标
		vector<vector<W>> _matrix;// 存储边的关系
	};

	void TestGraph()
	{
		Graph<char, int, INT_MAX, true> g("0123", 4);
		g.AddEdge('0', '1', 1);
		g.AddEdge('0', '3', 4);
		g.AddEdge('1', '3', 2);
		g.AddEdge('1', '2', 9);
		g.AddEdge('2', '3', 8);
		g.AddEdge('2', '1', 5);
		g.AddEdge('2', '0', 3);
		g.AddEdge('3', '2', 6);
		g.Print();
	}

	void TestBDFS() 
	{
		string a[] = { "张三", "李四", "王五", "赵六", "周七" };
		Graph<string, int> g1(a, sizeof(a) / sizeof(string));
		g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
		g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
		g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
		g1.AddEdge("王五", "周七", 30);
		g1.Print();

		g1.BFS("张三");
	}

	void TestGraphMinTree()
	{
		const char* str = "abcdefghi";
		Graph<char, int> g(str, strlen(str));
		g.AddEdge('a', 'b', 4);
		g.AddEdge('a', 'h', 8);
		//g.AddEdge('a', 'h', 9);
		g.AddEdge('b', 'c', 8);
		g.AddEdge('b', 'h', 11);
		g.AddEdge('c', 'i', 2);
		g.AddEdge('c', 'f', 4);
		g.AddEdge('c', 'd', 7);
		g.AddEdge('d', 'f', 14);
		g.AddEdge('d', 'e', 9);
		g.AddEdge('e', 'f', 10);
		g.AddEdge('f', 'g', 2);
		g.AddEdge('g', 'h', 1);
		g.AddEdge('g', 'i', 6);
		g.AddEdge('h', 'i', 7);

		Graph<char, int> kminTree;
		cout << "Kruskal:" << g.Kruskal(kminTree) << endl;
		//kminTree.Print();

		/*Graph<char, int> pminTree;
		cout << "Prim:" << g.Prim(pminTree, 'a') << endl;
		pminTree.Print();*/
	}
}
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