LeetCode 热题 100_完全平方数（84_279_中等_C++）（动态规划（完全背包））

LeetCode 热题 100_完全平方数（84_279）

题目描述：

给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的最少数量。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

输入输出样例：

示例 1：
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

提示：

1 <= n <= 10⁴

题解：

解题思路：

思路一（动态规划（完全背包））：

1、题目要求一个整数 n，返回和为 n 的完全平方数的最少数量。从样例一的解释中：12 = 4 + 4 + 4。我们发现4是可以重复使用的，这样就凑成一个整数，可重复使用自然而然的想到了完全背包。

2、具体思路如下：

① 首先考虑一个数 n 所包含的最大完全平方数是根号n=sqrt(n)。

② 可以将这个问题转化为完全背包问题：背包的容量为 n，物品的重量是 1 到 sqrt(n) 之间的完全平方数。

③ 使用一维dp数组，dp[j] 表示背包容量为 j 时，最少需要的物品数量（即最少的完全平方数个数）。

④ 状态转移方程：dp[j] = min(dp[j], dp[j - i × i] + 1)，等号右侧 dp[j]代表没放i×i，dp[j - i × i] + 1 代表放了 i×i 。

⑤ 初始化 dp[0] = 0，因为容量为 0 时不需要任何物品。其余dp数组值为INT_MAX，因 dp[j] = min(dp[j], dp[j - i × i] + 1) ，取两值中的最小值。
这个博主的背包问题讲解的不错

3、复杂度分析：

① 时间复杂度：O(n * sqrt(n))，其中 n 为给定的正整数。状态转移方程的时间复杂度为 O(sqrt(n))，共需要计算 n 个状态，因此总时间复杂度为 O(n * sqrt(n))。

② 空间复杂度：O(n)。dp 数组所需的空间。

代码实现

代码实现（思路一（动态规划（完全背包）））：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        // 创建一个长度为 n+1 的 DP 数组，初始化为最大值 INT_MAX
        vector<int> dp(n+1, INT_MAX);
        
        // 背包容量为 0 时，所需物品数为 0
        dp[0] = 0;
        
        // 先遍历所有完全平方数 i * i
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            // 遍历背包容量 j，从 i*i 到 n，更新 dp[j] 的最小值  (只有j>=i*i 才能装下i*i)
            // 可重复使用遍历顺序是从左到右
            for (int j = i * i; j <= n; j++) {
                // 状态转移方程，选择当前完全平方数 i*i，更新 dp[j]
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        
        // 返回最终的结果，即 n 需要的最少完全平方数个数
        return dp[n];
    }
};

以思路一为例进行调试

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        // 创建一个长度为 n+1 的 DP 数组，初始化为最大值 INT_MAX
        vector<int> dp(n+1, INT_MAX);
        
        // 背包容量为 0 时，所需物品数为 0
        dp[0] = 0;
        
        // 先遍历所有完全平方数 i * i
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {
            // 遍历背包容量 j，从 i*i 到 n，更新 dp[j] 的最小值  (只有j>=i*i 才能装下i*i)
            for (int j = i * i; j <= n; j++) {
                // 状态转移方程，选择当前完全平方数 i*i，更新 dp[j]
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        
        // 返回最终的结果，即 n 需要的最少完全平方数个数
        return dp[n];
    }
};

int main() {
    Solution s;
    // 输出 numSquares(13) 的结果，期望输出 2（13 = 4 + 9）
    cout << s.numSquares(13) << endl;
    return 0;
}

LeetCode 热题 100_完全平方数（84_279)原题链接

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